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106分平面向量★★★☆☆
已知 OO 为坐标原点，点 P1=(cos⁡α,sin⁡α)P_1=\left( \cos\alpha,\sin\alpha \right)，P2=(cos⁡β,−sin⁡β)P_2=\left( \cos\beta,-\sin\beta \right)，P3=(cos⁡(α+β),sin⁡(α+β))P_3=\left( \cos\left( \alpha+\beta \right),\sin\left( \alpha+\beta \right) \right)，A(1,0)A(1,0)，则（ ）
A.
∣OP1∣=∣OP2∣|OP_1|=|OP_2|
B.
∣AP1∣=∣AP2∣|AP_1|=|AP_2|
C.
OA→⋅OP3→=OP1→⋅OP2→\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OP_3}=\overrightarrow{OP_1}\cdot\overrightarrow{OP_2}
D.
OA→⋅OP1→=OP2→⋅OP3→\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OP_1}=\overrightarrow{OP_2}\cdot\overrightarrow{OP_3}

2021 · 全国 · 新高考一卷 · 第 10 题 · 多选题

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08平面向量★★★☆☆
已知点 AA，BB，CC 在圆 x2+y2=1x^{2} + y^{2} = 1 上运动，且 AB⊥BCAB \perp BC. 若点 PP 的坐标为 (2,0)(2,0)，则 ∣PA→+PB→+PC→∣\left|\overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB} + \overrightarrow{PC}\right| 的最大值为（ ）
A.
6
B.
7
C.
8
D.
9

2015 · 湖南 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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09平面向量★★★☆☆
已知点 AA，BB，CC 在圆 x2+y2=1x^{2} + y^{2} = 1 上运动，且 AB⊥BCAB \perp BC. 若点 PP 的坐标为 (2,0)(2,0)，则 ∣PA→+PB→+PC→∣\left|\overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB} + \overrightarrow{PC}\right| 的最大值为（ ）
A.
66
B.
77
C.
88
D.
99

2015 · 湖南 · 文 · 第 9 题 · 选择题

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16平面向量★★★☆☆
在平面直角坐标系中， OO 为原点，A(−1,0)A(-1,0)，B(0,3)B(0,\sqrt{3})，C(3,0)C(3,0)，动点 DD 满足 ∣CD→∣=1\left|\overrightarrow{CD}\right| = 1，则 ∣OA→+OB→+OD→∣\left|\overrightarrow{OA} +\overrightarrow{OB} +\overrightarrow{OD}\right| 的最大值是______. \begin{answer} 1+71+\sqrt{7} \end{answer}
\begin{solution} 由点的坐标得
OA→+OB→+OC→=(−1,0)+(0,3)+(3,0)=(2,3)\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=(-1,0)+(0,\sqrt3)+(3,0)=(2,\sqrt3)
又因为 ∣CD→∣=1|\overrightarrow{CD}|=1，可写成 OD→=OC→+CD→\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{CD}，故
OA→+OB→+OD→=(2,3)+CD→\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}=(2,\sqrt3)+\overrightarrow{CD}
由三角不等式，该向量的模不超过 22+(3)2+1=7+1\sqrt{2^2+(\sqrt3)^2}+1=\sqrt7+1. 当 CD→\overrightarrow{CD} 与 (2,3)(2,\sqrt3) 同方向时等号成立，所以最大值为 1+71+\sqrt7. \end{solution}

2014 · 湖南 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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10平面向量★★★☆☆
在平面直角坐标系中，OO 为原点，A(−1,0)A(-1,0)，B(0,3)B(0,\sqrt{3})，C(3,0)C(3,0). 动点 DD 满足 ∣CD→∣=1\left|\overrightarrow{CD}\right| = 1，则 ∣OA→+OB→+OD→∣\left|\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD}\right| 的取值范围是（ ）
A.
[4, 6]
B.
[19−1,19+1][\sqrt{19} - 1, \sqrt{19} + 1]
C.
[23,27][2\sqrt{3}, 2\sqrt{7}]
D.
[7−1,7+1][\sqrt{7} - 1, \sqrt{7} + 1]

2014 · 湖南 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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06平面向量★★★☆☆
已知 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 是单位向量，a⋅b=0\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = 0. 若向量 c\boldsymbol{c} 满足 ∣c−a−b∣=1\left|\boldsymbol{c} - \boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}\right| = 1，则 ∣c∣\left|\boldsymbol{c}\right| 的取值范围是（ ）
A.
[2−1,2+1]\left[\sqrt{2} - 1, \sqrt{2} + 1\right]
B.
[2−1,2+2]\left[\sqrt{2} - 1, \sqrt{2} + 2\right]
C.
[1,2+1][1, \sqrt{2} + 1]
D.
[1,2+2][1, \sqrt{2} + 2]

2013 · 湖南 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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07立体几何初步★★★☆☆
已知正方体的棱长为 1，其俯视图是一个面积为 1 的正方形，侧视图是一个面积为 2\sqrt{2} 的矩形，则该正方体的正视图的面积等于（ ）
A.
32\frac{\sqrt{3}}{2}
B.
1
C.
2+12\frac{\sqrt{2} + 1}{2}
D.
2\sqrt{2}

2013 · 湖南 · 文 · 第 7 题 · 选择题

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08平面向量★★★☆☆
已知 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 是单位向量，a⋅b=0\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = 0. 若向量 c\boldsymbol{c} 满足 ∣c−a−b∣=1|\boldsymbol{c} - \boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}| = 1，则 ∣c∣|\boldsymbol{c}| 的最大值为（ ）
A.
2−1\sqrt{2} - 1
B.
2\sqrt{2}
C.
2+1\sqrt{2} + 1
D.
2+2\sqrt{2} + 2

2013 · 湖南 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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16三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，已知 2AB→⋅AC→=3∣AB→∣⋅∣AC→∣=3BC22\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = \sqrt{3} |\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{AC}| = 3BC^2，求角 AA，BB，CC 的大小.

2009 · 湖南 · 理 · 第 16 题 · 解答题

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15平面向量★★★☆☆
如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若 AD→=xAB→+yAC→\overrightarrow{AD} = x\overrightarrow{AB} + y\overrightarrow{AC}，则 x=‾x =\underline{\hspace{2em}}，y=‾y =\underline{\hspace{2em}}.

2009 · 湖南 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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16平面向量★★★☆☆
已知向量 a=(sin⁡θ,cos⁡θ−2sin⁡θ)\boldsymbol{a} = (\sin \theta, \cos \theta - 2\sin \theta)，b=(1,2)\boldsymbol{b} = (1, 2).
(1) 若 a∥b\boldsymbol{a} \parallel \boldsymbol{b}，求 tan⁡θ\tan \theta 的值； (2) 若 ∣a∣=∣b∣|\boldsymbol{a}| = |\boldsymbol{b}|，0<θ<π0 < \theta < \pi，求 θ\theta 的值.

2009 · 湖南 · 文 · 第 16 题 · 解答题

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03立体几何初步★★★☆☆
过平行六面体 ABCD−A1B1C1D1ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 任意两条棱的中点作直线，其中与平面 DBB1D1DBB_{1}D_{1} 平行的直线共有（ ）
A.
44 条
B.
66 条
C.
88 条
D.
1212 条

2006 · 湖南 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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05平面向量★★★☆☆
已知 ∣a∣=2∣b∣≠0\left|\boldsymbol{a}\right| = 2\left|\boldsymbol{b}\right| \neq 0，且关于 xx 的方程 x2+∣a∣x+a⋅b=0x^{2} + \left|\boldsymbol{a}\right|x + \boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b} = 0 有实根，则 a\boldsymbol{a} 与 b\boldsymbol{b} 的夹角的取值范围是（ ）
A.
[0,π6]\left[0, \frac{\pi}{6}\right]
B.
[π3,π]\left[\frac{\pi}{3}, \pi\right]
C.
[π3,2π3]\left[\frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}\right]
D.
[π6,π]\left[\frac{\pi}{6}, \pi\right]

2006 · 湖南 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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15平面向量★★★☆☆
如图，OM∥ABOM \parallel AB，点 PP 在由射线 OMOM，线段 OBOB 及 ABAB 的延长线围成的区域内（不含边界）运动，且 OP→=xOA→+yOB→\overrightarrow{OP} = x\overrightarrow{OA} + y\overrightarrow{OB}，则 xx 的取值范围是______；当 x=−12x = -\frac{1}{2} 时，yy 的取值范围是______.

2006 · 湖南 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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10平面向量★★★☆☆
如图，OM∥ABOM\parallel AB，点 PP 由射线 OMOM、线段 OBOB 及 ABAB 的延长线围成的阴影区域内（不含边界），且 OP→=xOA→+yOB→\overrightarrow{OP}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}，则实数对 (x,y)(x,y) 可以是（ ）
A.
(14,34)\left(\frac{1}{4},\frac{3}{4}\right)
B.
(−23,23)\left(-\frac{2}{3},\frac{2}{3}\right)
C.
(−14,34)\left(-\frac{1}{4},\frac{3}{4}\right)
D.
(−15,75)\left(-\frac{1}{5},\frac{7}{5}\right)

2006 · 湖南 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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14立体几何初步★★★☆☆
过三棱柱 ABC−A1B1C1ABC-A_1B_1C_1 的任意两条棱的中点作直线，其中与平面 ABB1A1ABB_1A_1 平行的直线共有______条\text{条}.

2006 · 湖南 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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13平面向量★★★☆☆
已知向量 a=(cos⁡θ,sin⁡θ)\boldsymbol{a}=(\cos\theta,\sin\theta)，向量 b=(3,−1)\boldsymbol{b}=(\sqrt{3},-1)，则 ∣2a−b∣\left|2\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}\right| 的最大值是______.

2004 · 湖南 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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08平面向量★★★☆☆
已知向量 a=(cos⁡θ,sin⁡θ)\boldsymbol{a} = (\cos \theta, \sin \theta)，向量 b=(3,−1)\boldsymbol{b} = (\sqrt{3}, -1)，则 ∣2a−b∣\left|2\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}\right| 的最大值，最小值分别是（\quad）
A.
42,04\sqrt{2}, 0
B.
44，424\sqrt{2}
C.
16,016, 0
D.
4,04, 0

2004 · 湖南 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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