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106分平面向量★★★☆☆
已知 OO 为坐标原点，点 P1=(cos⁡α,sin⁡α)P_1=\left( \cos\alpha,\sin\alpha \right)，P2=(cos⁡β,−sin⁡β)P_2=\left( \cos\beta,-\sin\beta \right)，P3=(cos⁡(α+β),sin⁡(α+β))P_3=\left( \cos\left( \alpha+\beta \right),\sin\left( \alpha+\beta \right) \right)，A(1,0)A(1,0)，则（ ）
A.
∣OP1∣=∣OP2∣|OP_1|=|OP_2|
B.
∣AP1∣=∣AP2∣|AP_1|=|AP_2|
C.
OA→⋅OP3→=OP1→⋅OP2→\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OP_3}=\overrightarrow{OP_1}\cdot\overrightarrow{OP_2}
D.
OA→⋅OP1→=OP2→⋅OP3→\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OP_1}=\overrightarrow{OP_2}\cdot\overrightarrow{OP_3}

2021 · 全国 · 新高考一卷 · 第 10 题 · 多选题

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09平面向量★★★☆☆
已知 AB→⊥AC→\overrightarrow{AB} \perp \overrightarrow{AC}，∣AB→∣=1t|\overrightarrow{AB}| = \frac{1}{t}，∣AC→∣=t|\overrightarrow{AC}| = t. 若点 PP 是 △ABC\triangle ABC 所在平面内的一点，且 AP→=AB→∣AB→∣+4AC→∣AC→∣\overrightarrow{AP} = \frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|} + \frac{4\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}，则 PB→⋅PC→\overrightarrow{PB} \cdot \overrightarrow{PC} 的最大值等于（ ）
A.
13
B.
15
C.
19
D.
21

2015 · 福建 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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10平面向量★★★☆☆
在四边形 ABCDABCD 中，AC→=(1,2)\overrightarrow{AC} = (1, 2)，BD→=(−4,2)\overrightarrow{BD} = (-4, 2)，则该四边形的面积为（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
\begin{solution} 四边形的面积等于两条对角线长度及其夹角正弦乘积的一半. 用向量坐标计算两条对角线的叉积：
∣AC→×BD→∣=∣1⋅2−2⋅(−4)∣=10\left|\overrightarrow{AC}\times\overrightarrow{BD}\right| =\left|1\cdot2-2\cdot(-4)\right|=10
所以四边形 ABCDABCD 的面积为 12×10=5\frac12\times10=5，故选 C. \end{solution}
A.
5\sqrt{5}
B.
252\sqrt{5}
C.
55
D.
1010

2013 · 福建 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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08平面向量★★★☆☆
已知 OO 是坐标原点，点 A(−1,1)A(-1,1)，若点 M(x,y)M(x,y) 为平面区域
{x+y⩾2,x⩽1,y⩽2\begin{cases} x+y\geqslant 2,\\ x\leqslant 1,\\ y\leqslant 2 \end{cases}
上的一个动点，则 OA→⋅OM→\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OM} 的取值范围是（ ）
A.
[−1,0][-1,0]
B.
[0,1][0,1]
C.
[0,2][0,2]
D.
[−1,2][-1,2]

2011 · 福建 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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15平面向量★★★☆☆
设 VV 是全体平面向量构成的集合. 若映射 f:V→Rf:V\to\mathbf{R} 满足：对任意向量 a=(x1,y1)∈Va=(x_1,y_1)\in V，b=(x2,y2)∈Vb=(x_2,y_2)\in V，以及任意 λ∈R\lambda\in\mathbf{R}，均有 f(λa+(1−λ)b)=λf(a)+(1−λ)f(b)f\left(\lambda a+(1-\lambda)b\right)=\lambda f(a)+(1-\lambda)f(b)，则称映射 ff 具有性质 PP. 现给出如下映射：
① f1:V→Rf_1:V\to\mathbf{R}，f1(m)=x−yf_1(m)=x-y，m=(x,y)∈Vm=(x,y)\in V； ② f2:V→Rf_2:V\to\mathbf{R}，f2(m)=x2+yf_2(m)=x^2+y，m=(x,y)∈Vm=(x,y)\in V； ③ f3:V→Rf_3:V\to\mathbf{R}，f3(m)=x+y+1f_3(m)=x+y+1，m=(x,y)∈Vm=(x,y)\in V.
其中，具有性质 PP 的映射的序号为______（写出所有具有性质 PP 的映射的序号）.

2011 · 福建 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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11解析几何★★★☆☆
若点 OO 和点 FF 分别为椭圆 x24+y23=1\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1 的中心和左焦点，点 PP 为椭圆上的任意一点，则 OP→⋅FP→\overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{FP} 的最大值为（ ）
A.
2
B.
3
C.
6
D.
8

2010 · 福建 · 文 · 第 11 题 · 选择题

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18概率与统计★★★☆☆
设平面向量 am=(m,1)\boldsymbol{a}_{m} = (m,1)，bn=(2,n)\boldsymbol{b}_{n} = (2,n)，其中 mm，n∈{1,2,3,4}n \in \{1,2,3,4\}.
(1) 请列出有序数组 (m,n)\left(m,n\right) 的所有可能结果； (2) 记“使得 am⊥(am−bn)\boldsymbol{a}_{m} \perp \left(\boldsymbol{a}_{m}-\boldsymbol{b}_{n}\right) 成立”的 (m,n)\left(m,n\right) 为事件 AA，求事件 AA 发生的概率.

2010 · 福建 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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09平面向量★★★☆☆
设 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b}，c\boldsymbol{c} 为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足 a\boldsymbol{a} 与 b\boldsymbol{b} 不共线，a⊥c\boldsymbol{a} \perp \boldsymbol{c}，∣a∣=∣c∣|\boldsymbol{a}| = |\boldsymbol{c}|，则 ∣b⋅c∣\lvert \boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{c} \rvert 的值一定等于（ ）
\begin{solution} 设θ\theta为a\boldsymbol{a}与b\boldsymbol{b}的夹角.因为a⊥c\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{c}且∣a∣=∣c∣|\boldsymbol{a}|=|\boldsymbol{c}|，所以b\boldsymbol{b}与c\boldsymbol{c}的夹角的余弦绝对值等于sin⁡θ\sin\theta.于是
∣b⋅c∣=∣b∣∣c∣∣cos⁡∠(b,c)∣=∣b∣∣a∣sin⁡θ\lvert\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{c}\rvert =|\boldsymbol{b}||\boldsymbol{c}|\lvert\cos\angle(\boldsymbol{b},\boldsymbol{c})\rvert =|\boldsymbol{b}||\boldsymbol{a}|\sin\theta
右端正是以a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b}为邻边的平行四边形面积.因此选 C. \end{solution}
A.
以 a,b\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b} 为两边的三角形面积
B.
以 b\boldsymbol{b}，c\boldsymbol{c} 为两边的三角形面积
C.
以 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 为邻边的平行四边形的面积
D.
以 b\boldsymbol{b}，c\boldsymbol{c} 为邻边的平行四边形的面积

2009 · 福建 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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12平面向量★★★☆☆
设 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b}，c\boldsymbol{c} 为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足 a\boldsymbol{a} 与 b\boldsymbol{b} 不共线，a⊥c\boldsymbol{a} \perp \boldsymbol{c}，∣a∣=∣c∣|\boldsymbol{a}| = |\boldsymbol{c}|，则 ∣b⋅c∣|\boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{c}| 的值一定等于（ ）
A.
以 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 为邻边的平行四边形的面积
B.
以 b\boldsymbol{b}，c\boldsymbol{c} 为邻边的平行四边形的面积
C.
以 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 为两边的三角形面积
D.
以 b\boldsymbol{b}，c\boldsymbol{c} 为两边的三角形面积

2009 · 福建 · 文 · 第 12 题 · 选择题

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17平面向量★★★☆☆
已知向量 m=(sin⁡A,cos⁡A)\boldsymbol{m} = (\sin A, \cos A)，n=(3,−1)\boldsymbol{n} = (\sqrt{3}, -1)，m⋅n=1\boldsymbol{m} \cdot \boldsymbol{n} = 1，且 AA 为锐角.
(1) 求角 AA 的大小； (2) 求函数 f(x)=cos⁡2x+4cos⁡Asin⁡xf(x) = \cos 2x + 4 \cos A \sin x（x∈Rx \in \mathbf{R}）的值域.

2008 · 福建 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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17三角函数★★★☆☆
已知向量 m=(sin⁡A,cos⁡A)\boldsymbol{m} = (\sin A, \cos A)，n=(1,−2)\boldsymbol{n} = (1, -2)，且 m⋅n=0\boldsymbol{m} \cdot \boldsymbol{n} = 0.
(1) 求 tan⁡A\tan A 的值； (2) 求函数 f(x)=cos⁡2x+4cos⁡Asin⁡xf(x) = \cos 2x + 4\cos A \sin x（x∈Rx \in \mathbf{R}）的值域.

2008 · 福建 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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16集合与逻辑基础★★★☆☆
中学数学中存在许多关系，比如“相等关系”，“平行关系”等等. 如果集合 AA 中元素之间的一个关系“∼\sim”满足以下三个条件：
① 自反性：对于任意 a∈Aa \in A，都有 a∼aa \sim a； ② 对称性：对于 aa，b∈Ab \in A，若 a∼ba \sim b，则有 b∼ab \sim a； ③ 传递性：对于 aa，bb，c∈Ac \in A，若 a∼ba \sim b，b∼cb \sim c，则有 a∼ca \sim c.
则称“∼\sim”是集合 AA 的一个等价关系. 例如：“数的相等”是等价关系，而“直线的平行”不是等价关系（自反性不成立）. 请你再列出三个等价关系：______.

2007 · 福建 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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11平面向量★★★☆☆
已知 ∣OA→∣=1\left|\overrightarrow{OA}\right|=1，∣OB→∣=3\left|\overrightarrow{OB}\right|=\sqrt{3}，OA→⋅OB→=0\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=0，点 CC 在 ∠AOB\angle AOB 内，且 ∠AOC=30∘\angle AOC=30^{\circ}. 设 OC→=mOA→+nOB→\overrightarrow{OC}=m\overrightarrow{OA}+n\overrightarrow{OB}（mm，n∈Rn\in\mathbf{R}），则 mn\frac{m}{n} 等于（ ）
A.
13\frac{1}{3}
B.
3
C.
33\frac{\sqrt{3}}{3}
D.
3\sqrt{3}

2006 · 福建 · 理 · 第 11 题 · 选择题

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16数列★★★☆☆
如图，连结 △ABC\triangle ABC 的各边中点得到一个新的 △A1B1C1\triangle A_{1}B_{1}C_{1}，又连结 △A1B1C1\triangle A_{1}B_{1}C_{1} 的各边中点得到一个新的 △A2B2C2\triangle A_{2}B_{2}C_{2}，如此无限继续下去，得到一系列三角形：△ABC\triangle ABC，△A1B1C1\triangle A_{1}B_{1}C_{1}，△A2B2C2\triangle A_{2}B_{2}C_{2}，⋯\cdots，这一系列三角形趋向于一个点 MM. 已知 A(0,0)A(0,0)，B(3,0)B(3,0)，C(2,2)C(2,2)，则点 MM 的坐标是______.

2006 · 福建 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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17平面向量★★★☆☆
设函数 f(x)=a⋅bf(x)=\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}，其中向量 a=(2cos⁡x,1)\boldsymbol{a}=(2\cos x,1)，b=(cos⁡x,3sin⁡2x)\boldsymbol{b}=(\cos x,\sqrt{3}\sin 2x)，x∈Rx\in\mathbf{R}.
(1) 若 f(x)=1−3f(x)=1-\sqrt{3} 且 x∈[−π3,π3]x\in\left[-\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{3}\right]，求 xx； (2) 若函数 y=2sin⁡2xy=2\sin 2x 的图象按向量 c=(m,n)\boldsymbol{c}=(m,n)（∣m∣<π2|m|<\frac{\pi}{2}）平移后得到函数 y=f(x)y=f(x) 的图象，求实数 mm，nn 的值.

2004 · 福建 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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17平面向量★★★☆☆
设函数 f(x)=a⋅bf(x) = \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}，其中向量 a=(2cos⁡x,1)\boldsymbol{a} = (2\cos x, 1)，b=(cos⁡x,3sin⁡2x)\boldsymbol{b} = (\cos x, \sqrt{3}\sin 2x)，x∈Rx \in \mathbf{R}.
(1) 若 f(x)=1−3f(x) = 1 - \sqrt{3} 且 x∈[−π3,π3]x \in \left[-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3}\right]，求 xx； (2) 若函数 y=2sin⁡2xy = 2\sin 2x 的图象按向量 c=(m,n)\boldsymbol{c} = (m, n)（∣m∣<π2|m| < \frac{\pi}{2}）平移后得到函数 y=f(x)y = f(x) 的图象，求实数 mm，nn 的值.

2004 · 福建 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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