设 $\triangle ABC$ 的三个内角 $A$，$B$，$C$，向量 $\boldsymbol{m} = (\sqrt{3} \sin A, \sin B)$，$\boldsymbol{n} = (\cos B, \sqrt{3} \cos A)$，若 $\boldsymbol{m} \cdot \boldsymbol{n} = 1 + \cos (A + B)$，则 $C =$（ ）

\begin{answer} C \end{answer}

\begin{solution} 由向量内积得 设 $\theta=A+B=\pi-C$，则 $0<\theta<\pi$，且题设化为 用半角公式，因 $0<\theta<\pi$，有 $\sin(\frac{\theta}{2})>0$ 且 $\cos(\frac{\theta}{2})>0$，从而 故 $\tan(\frac{\theta}{2})=\frac{1}{\sqrt{3}}$. 于是 $\theta=\frac{\pi}{3}$，所以 故选 C. \end{solution}

与向量 $\boldsymbol{a} = \left(\frac{7}{2},\frac{1}{2}\right)$，$\boldsymbol{b} = \left(\frac{1}{2}, - \frac{7}{2}\right)$ 的夹角相等，且模为1的向量是（ ）