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10平面向量★★★☆☆
已知 k∈Rk\in \mathbf{R}，向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b}，c\boldsymbol{c} 是两两不平行的向量，且 a+3b∥b+c\boldsymbol{a}+3\boldsymbol{b}\parallel \boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}，2a+kc∥b+c2\boldsymbol{a}+k\boldsymbol{c}\parallel \boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}，则 k=‾k=\underline{\hspace{2em}}.

2026 · 上海 · 第 10 题 · 填空题

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10平面向量★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，DD，EE 在边 BCBC 上，且 BD=DE=ECBD=DE=EC，AD=1AD=1，∠DAE=π3\angle DAE=\dfrac{\pi}{3}，则 AB→⋅AC→\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} 的最大值为______.

2026 · 上海 · 春季 · 第 10 题 · 填空题

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14平面向量★★★☆☆
△ABC\triangle ABC 中，DD 为 ABAB 中点，CE→=13CD→\overrightarrow{CE}=\frac13\overrightarrow{CD}，AC→=b\overrightarrow{AC}= \boldsymbol{b}，AB→=a\overrightarrow{AB}=\boldsymbol{a}. 则 AE→=‾\overrightarrow{AE}=\underline{\hspace{2em}}（用 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 表示）；若 ∣AE→∣=5|\overrightarrow{AE}|=5，AE→⊥CB→\overrightarrow{AE}\perp\overrightarrow{CB}，则 AE→⋅CD→=‾\overrightarrow{AE}\cdot\overrightarrow{CD}=\underline{\hspace{2em}}.

2025 · 天津 · 第 14 题 · 填空题

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14平面向量★★★☆☆
在边长为 1 的正方形 ABCDABCD 中，点 EE 为线段 CDCD 的三等分点，CE=12DECE=\frac12DE，BE→=λBA→+μBC→\overrightarrow{BE}=\lambda\overrightarrow{BA}+\mu\overrightarrow{BC}，则 λ+μ=‾\lambda+\mu=\underline{\hspace{2em}}；FF 为线段 BEBE 上的动点，GG 为 AFAF 中点，则 AF→⋅DG→\overrightarrow{AF}\cdot \overrightarrow{DG} 的最小值为______.

2024 · 天津 · 第 14 题 · 填空题

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10平面向量★★★☆☆
在棱柱 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 中，底面 ABCDABCD 为平行四边形，∣AA1∣=3\left|AA_1\right|=3，∣BD∣=4\left|BD\right|=4，AB1→⋅BC→−AD1→⋅DC→=5\overrightarrow{AB_1}\cdot\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{AD_1}\cdot\overrightarrow{DC}=5，设异面直线 AA1AA_1 与 BDBD 的夹角为 θ\theta，则 cos⁡θ=\cos\theta=______ .

2024 · 上海 · 春季 · 第 10 题 · 填空题

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11平面向量★★★☆☆
已知平面非零向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b}，c\boldsymbol{c} 的模均为 λ\lambda，若 a⋅b=0\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=0，a⋅c=2\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{c}=2，b⋅c=1\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{c}=1，则 λ=‾\lambda=\underline{\hspace{2em}}.

2022 · 上海 · 第 11 题 · 填空题

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10平面向量★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，∠C=π2\angle C=\dfrac\pi2，AC=BC=2AC=BC=2，MM 为 ACAC 的中点，PP 在线段 ABAB 上，则 MP→⋅CP→\overrightarrow{MP}\cdot\overrightarrow{CP} 的最小值为______.

2022 · 上海 · 春季 · 第 10 题 · 填空题

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17平面向量★★★☆☆
设点 PP 在单位圆的内接正八边形 A1A2⋯A8A_1A_2\cdots A_8 的边 A1A2A_1A_2 上，则 PA1→ 2+PA2→ 2+⋯+PA8→ 2\overrightarrow{PA_1}^{\,2}+\overrightarrow{PA_2}^{\,2}+\cdots+\overrightarrow{PA_8}^{\,2} 的取值范围是______.

2022 · 浙江 · 第 17 题 · 填空题

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15平面向量★★★☆☆
在边长为 11 的等边三角形 ABCABC 中，DD 为线段 BCBC 上的动点，DE⊥ABDE\perp AB 且交 ABAB 于点 EE，DF∥ABDF\parallel AB 且交 ACAC 于点 FF，则 ∣2BE→+DF→∣\left| 2\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{DF} \right| 的值为 ‾\underline{\hspace{2em}}；(DE→+DF→)⋅DA→\left( \overrightarrow{DE}+\overrightarrow{DF} \right)\cdot \overrightarrow{DA} 的最小值为 ‾\underline{\hspace{2em}}.

2021 · 天津 · 第 15 题 · 填空题

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15平面向量★★★☆☆
如图，在四边形 ABCDABCD 中，∠B=60∘\angle B=60^\circ，∣AB∣=3|AB|=3，∣BC∣=6|BC|=6，且 AD→=λBC→\overrightarrow{AD}=\lambda\overrightarrow{BC}，AD→⋅AB→=−32\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{AB}=-\dfrac32，则实数 λ\lambda 的值为______，若 MM，NN 是线段 BCBC 上的动点，且 ∣MN∣=1|MN|=1，则 DM→⋅DN→\overrightarrow{DM}\cdot\overrightarrow{DN} 的最小值为______.

2020 · 天津 · 第 15 题 · 填空题

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14平面向量★★★☆☆
在四边形 ABCDABCD 中，AD∥BCAD\parallel BC，AB=23AB=2\sqrt3，AD=5AD=5，∠A=30∘\angle A=30^\circ，点 EE 在线段 CBCB 的延长线上，且 AE=BEAE=BE，则 BD→⋅AE→=‾\overrightarrow{BD}\cdot \overrightarrow{AE}=\underline{\hspace{2em}}.
\begin{answer} −1-1 \end{answer}

2019 · 天津 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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08平面向量★★★☆☆
在平面直角坐标系中，已知点 A(−1,0)A(-1,0)，B(2,0)B(2,0)，EE，FF 是 yy 轴上的两个动点，且 ∣EF→∣=2\lvert\overrightarrow{EF}\rvert=2，则 AE→⋅BF→\overrightarrow{AE}\cdot\overrightarrow{BF} 的最小值为______.

2018 · 上海 · 第 8 题 · 填空题

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13平面向量★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，∠A=60∘\angle A=60^\circ，AB=3AB=3，AC=2AC=2. 若 BD→=2DC→\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{DC}，AE→=λAC→−AB→\overrightarrow{AE}=\lambda\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}（λ∈R\lambda\in\mathbf{R}），且 AD→⋅AE→=−4\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{AE}=-4，则 λ\lambda 的值为______.

2017 · 天津 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14平面向量★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，∠A=60∘\angle A=60^\circ，AB=3AB=3，AC=2AC=2. 若 BD→=2DC→\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{DC}，AE→=λAC→−AB→\overrightarrow{AE}=\lambda\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}（λ∈R\lambda\in\mathbf{R}），且 AD→⋅AE→=−4\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{AE}=-4，则 λ\lambda 的值为______.

2017 · 天津 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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12平面向量★★★☆☆
如图，在同一个平面内，向量 OA→\overrightarrow{OA}，OB→\overrightarrow{OB}，OC→\overrightarrow{OC} 的模分别为 11，11，2\sqrt2，OA→\overrightarrow{OA} 与 OC→\overrightarrow{OC} 的夹角为 α\alpha，且 tan⁡α=7\tan\alpha=7，OB→\overrightarrow{OB} 与 OC→\overrightarrow{OC} 的夹角为 45∘45^\circ. 若 OC→=mOA→+nOB→\overrightarrow{OC}=m\overrightarrow{OA}+n\overrightarrow{OB}（mm，n∈Rn\in\mathbf{R}），则 m+n=‾m+n=\underline{\hspace{2em}}.

2017 · 江苏 · 第 12 题 · 填空题

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15平面向量★★★☆☆
已知向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 满足 ∣a∣=1|\boldsymbol{a}|=1，∣b∣=2|\boldsymbol{b}|=2，则 ∣a+b∣+∣a−b∣|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|+|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}| 的最小值是______，最大值是______.

2017 · 浙江 · 第 15 题 · 填空题

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12平面向量★★★☆☆
在平面直角坐标系中，已知 A(1,0)A(1,0)，B(0,−1)B(0,-1)，PP 是曲线 y=1−x2y=\sqrt{1-x^2} 上一个动点，则 BP→⋅BA→\overrightarrow{BP}\cdot\overrightarrow{BA} 的取值范围是______.

2016 · 上海 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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14概率与统计★★★☆☆
如图，在平面直角坐标系 xOyxOy 中，OO 为正八边形 A1A2⋯A8A_1A_2\cdots A_8 的中心，A1(1,0)A_1(1,0)，任取不同的两点 AiA_i，AjA_j，点 PP 满足 OP→+OAi→+OAj→=\bs0\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OA_i}+\overrightarrow{OA_j}=\bs0，则点 PP 落在第一象限的概率是______.

2016 · 上海 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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12平面向量★★★☆☆
如图，已知点 O(0,0)O(0,0)，A(1,0)A(1,0)，B(0,−1)B(0,-1)，PP 是曲线 y=1−x2y=\sqrt{1-x^2} 上一个动点，则 OP→⋅BA→\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{BA} 的取值范围是______.

2016 · 上海 · 文 · 第 12 题 · 填空题

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34平面向量★★★☆☆
已知圆心为 OO，半径为 11 的圆上有三点 AA， BB， CC，若 7OA→+5OB→+8OC→=0→7\overrightarrow{OA} + 5\overrightarrow{OB} + 8\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{0}，则 ∣BC→∣=\left|\overrightarrow{BC}\right|=______.
\begin{answer} 3\sqrt3 \end{answer}
\begin{solution} 记 a=OA→\boldsymbol{a}=\overrightarrow{OA}、b=OB→\boldsymbol{b}=\overrightarrow{OB}、c=OC→\boldsymbol{c}=\overrightarrow{OC}. 因为三点在单位圆上，所以 ∣a∣=∣b∣=∣c∣=1|\boldsymbol{a}|=|\boldsymbol{b}|=|\boldsymbol{c}|=1. 由 7a+5b+8c=07\boldsymbol{a}+5\boldsymbol{b}+8\boldsymbol{c}=\boldsymbol{0}，得 7a=−(5b+8c)7\boldsymbol{a}=-(5\boldsymbol{b}+8\boldsymbol{c}). 两边平方，得
49=25+64+80b⋅c49=25+64+80\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{c}
所以 b⋅c=−12\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{c}=-\frac12. 于是
∣BC→∣2=∣c−b∣2=∣b∣2+∣c∣2−2b⋅c=1+1+1=3|\overrightarrow{BC}|^2=|\boldsymbol{c}-\boldsymbol{b}|^2=|\boldsymbol{b}|^2+|\boldsymbol{c}|^2-2\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{c}=1+1+1=3
因此 ∣BC→∣=3|\overrightarrow{BC}|=\sqrt3. \end{solution}

2015 · 上海 · 春季 · 第 34 题 · 填空题

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13立体几何初步★★★☆☆
如图，在三棱锥 A−BCDA - BCD 中，AB=AC=BD=CD=3AB = AC = BD = CD = 3，AD=BC=2AD = BC = 2，点 MM，NN 分别为 ADAD，BCBC 的中点，则异面直线 ANAN，CMCM 所成的角的余弦值是______.

2015 · 浙江 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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13平面向量★★★☆☆
已知 e1\boldsymbol{e}_1，e2\boldsymbol{e}_2 是平面单位向量，且 e1⋅e2=12\boldsymbol{e}_1\cdot\boldsymbol{e}_2=\frac12. 若平面向量 b\boldsymbol{b} 满足 b⋅e1=b⋅e2=1\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{e}_1=\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{e}_2=1，则 ∣b∣=|\boldsymbol{b}|=______.

2015 · 浙江 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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15平面向量★★★☆☆
△ABC\triangle ABC 是边长为 22 的等边三角形，已知向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 满足 AB→=2a\overrightarrow{AB} = 2\boldsymbol{a}，AC→=2a+b\overrightarrow{AC} = 2\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}. 则下列结论中正确的是______. （写出所有正确结论的序号）
① a\boldsymbol{a} 为单位向量； ② b\boldsymbol{b} 为单位向量； ③ a⊥b\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{b}； ④ b∥BC→\boldsymbol{b}\parallel\overrightarrow{BC}； ⑤ (4a+b)⊥BC→\left(4\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}\right)\perp\overrightarrow{BC}.
\begin{answer} \circled1\circled4\circled5\circled{1}\circled{4}\circled{5} \end{answer}
\begin{solution} 因为 ABCABC 是边长为 22 的等边三角形，所以 ∣AB→∣=∣AC→∣=∣BC→∣=2|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{AC}|=|\overrightarrow{BC}|=2. 由 AB→=2a\overrightarrow{AB}=2\boldsymbol{a}，得 ∣a∣=1|\boldsymbol{a}|=1，结论\circled1\circled{1}正确.
又
BC→=AC→−AB→=b\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}=\boldsymbol{b}
所以 ∣b∣=2|\boldsymbol{b}|=2，结论\circled2\circled{2}错误，且 b∥BC→\boldsymbol{b}\parallel\overrightarrow{BC}，结论\circled4\circled{4}正确.
由 ∣2a+b∣=∣AC→∣=2|2\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|=|\overrightarrow{AC}|=2，平方得
4∣a∣2+4a⋅b+∣b∣2=44|\boldsymbol{a}|^2+4\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}+|\boldsymbol{b}|^2=4
代入 ∣a∣=1|\boldsymbol{a}|=1、∣b∣=2|\boldsymbol{b}|=2，得到 a⋅b=−1≠0\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=-1\ne0，所以结论\circled3\circled{3}错误. 最后
(4a+b)⋅BC→=(4a+b)⋅b=4(−1)+22=0\left(4\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}\right)\cdot\overrightarrow{BC} =\left(4\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}\right)\cdot\boldsymbol{b} =4(-1)+2^2=0
故结论\circled5\circled{5}正确. 所有正确结论的序号为 \circled1\circled{1}、\circled4\circled{4}、\circled5\circled{5}. \end{solution}

2015 · 安徽 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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13解析几何★★★☆☆
过点 P(1,3)P(1, \sqrt{3}) 作圆 x2+y2=1x^2 + y^2 = 1 的两条切线，切点分别为 AA，BB，则 PA→⋅PB→=\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PB} =______.

2015 · 山东 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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15平面向量★★★☆☆
已知 AA，BB，CC 是圆 OO 上的三点，若 AO→=12(AB→+AC→)\overrightarrow{AO} = \frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}\right)，则 AB→\overrightarrow{AB} 与 AC→\overrightarrow{AC} 的夹角为______.

2014 · 全国 · 新课程一卷 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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