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共找到 109 题
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10平面向量★★★☆☆
已知平面直角坐标系 xOyxOy 中，∣OA→∣=∣OB→∣=2|\overrightarrow{OA}|=|\overrightarrow{OB}|=\sqrt2，∣AB→∣=2|\overrightarrow{AB}|=2，设 C(3,4)C(3,4)，则 ∣2CA→+AB→∣|2\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}| 的取值范围是（ ）
A.
[6,14][6,14]
B.
[6,12][6,12]
C.
[8,14][8,14]
D.
[8,12][8,12]

2025 · 北京 · 第 10 题 · 选择题

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15平面向量★★★☆☆
已知空间直角坐标系 OxyzOxyz 中的点集 Ω\Omega，对任意的 P1P_1，P2P_2，P3∈ΩP_3\in \Omega，均存在不全为 00 的实数 λ1\lambda_1，λ2\lambda_2，λ3\lambda_3，使得 λ1OP1→+λ2OP2→+λ3OP3→=0\lambda_1\overrightarrow{OP_1}+\lambda_2\overrightarrow{OP_2}+\lambda_3\overrightarrow{OP_3}=\boldsymbol{0}. 若 (1,0,0)∈Ω(1,0,0)\in \Omega，则 (0,0,1)∉Ω(0,0,1)\notin \Omega 的一个充分条件是（ ）
A.
(0,0,0)∈Ω(0,0,0)\in \Omega
B.
(−1,0,0)∈Ω(-1,0,0)\in \Omega
C.
(0,−1,0)∈Ω(0,-1,0)\in \Omega
D.
(0,0,−1)∈Ω(0,0,-1)\in \Omega

2024 · 上海 · 第 15 题 · 选择题

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04平面向量★★★☆☆
已知向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b}，c\boldsymbol{c} 满足 ∣a∣=∣b∣=1\lvert \boldsymbol{a} \rvert=\lvert \boldsymbol{b} \rvert=1，∣c∣=2\lvert \boldsymbol{c} \rvert=\sqrt{2}，且 a+b+c=0\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}=\boldsymbol{0}，则 cos⁡(a−c,b−c)=\cos\left( \boldsymbol{a}-\boldsymbol{c},\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c} \right)=（ ）
A.
−45-\frac45
B.
−25-\frac25
C.
25\frac25
D.
45\frac45

2023 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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10平面向量★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，AC=3AC=3，BC=4BC=4，∠C=90∘\angle C=90^\circ. PP 为 △ABC\triangle ABC 所在平面内的动点，且 PC=1PC=1，则 PA→⋅PB→\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB} 的取值范围是（ ）.
A.
[−5,3][-5,3]
B.
[−3,5][-3,5]
C.
[−6,4][-6,4]
D.
[−4,6][-4,6]

2022 · 北京 · 第 10 题 · 选择题

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075分平面向量★★★☆☆
已知 PP 是边长为 2 的正六边形 ABCDEFABCDEF 内的一点，则 AP→⋅AB→\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{AB} 的取值范围是（ ）
A.
(−2,6)\left( -2,6 \right)
B.
(−6,2)\left( -6,2 \right)
C.
(−2,4)\left( -2,4 \right)
D.
(−4,6)\left( -4,6 \right)

2020 · 全国 · 新高考一卷 · 第 7 题 · 选择题

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06平面向量★★★☆☆
在平面内，AA，BB 是两个定点，CC 是动点. 若 AC→⋅BC→=1\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BC}=1，则点 CC 的轨迹为（ ）
A.
圆
B.
椭圆
C.
抛物线
D.
直线

2020 · 全国 · 三卷 · 文 · 第 6 题 · 选择题

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06平面向量★★★☆☆
设 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 均为单位向量，则“∣a−3b∣=∣3a+b∣\left\lvert \boldsymbol{a}-3\boldsymbol{b}\right\rvert=\left\lvert 3\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}\right\rvert”是“a⊥b\boldsymbol{a}\perp \boldsymbol{b}”的（ ）.
A.
充分而不必要条件
B.
必要而不充分条件
C.
充分必要条件
D.
既不充分也不必要条件

2018 · 北京 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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08平面向量★★★☆☆
如图，在平面四边形 ABCDABCD 中，AB⊥BCAB\perp BC，AD⊥CDAD\perp CD，∠BAD=120∘\angle BAD=120^\circ，AB=AD=1AB=AD=1. 若点 EE 为边 CDCD 上的动点，则 AE→⋅BE→\overrightarrow{AE}\cdot\overrightarrow{BE} 的最小值为（ ）
A.
2116\dfrac{21}{16}
B.
32\dfrac32
C.
2516\dfrac{25}{16}
D.
33

2018 · 天津 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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08平面向量★★★☆☆
在如图的平面图形中，已知 OM=1OM=1，ON=2ON=2，∠MON=120∘\angle MON=120^\circ，BM→=2MA→\overrightarrow{BM}=2\overrightarrow{MA}，CN→=2NA→\overrightarrow{CN}=2\overrightarrow{NA}，则 BC→⋅OM→\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{OM} 的值为（ ）
A.
−15-15
B.
−9-9
C.
−6-6
D.
00

2018 · 天津 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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12平面向量★★★☆☆
已知 △ABC\triangle ABC 是边长为 22 的等边三角形，PP 为平面 ABCABC 内一点，则 PA→⋅(PB→+PC→)\overrightarrow{PA}\cdot(\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}) 的最小值是（ ）
A.
−2-2
B.
−32-\dfrac32
C.
−43-\dfrac43
D.
−1-1

2017 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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16解析几何★★★☆☆
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，已知椭圆 C1:x236+y24=1C_1:\dfrac{x^2}{36}+\dfrac{y^2}{4}=1 和 C2:x2+y29=1C_2:x^2+\dfrac{y^2}{9}=1. PP 为 C1C_1 上的动点，QQ 为 C2C_2 上的动点，ww 是 OP→⋅OQ→\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OQ} 的最大值. 记 Ω={(P,Q)∣P 在 C1 上，Q 在 C2 上，且OP→⋅OQ→=w}\Omega=\{(P,Q)\mid P\text{ 在 }C_1\text{ 上，}Q\text{ 在 }C_2\text{ 上，且}\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OQ}=w\}，则 Ω\Omega 中元素个数为（ ）
A.
22个
B.
44个
C.
88个
D.
含有无穷个元素

2017 · 上海 · 第 16 题 · 选择题

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16平面向量★★★☆☆
如图，正八边形 A1A2⋯A8A_1A_2\cdots A_8 的边长为 22，若 PP 为该正八边形边上的动点，则 A1A3→⋅A1P→\overrightarrow{A_1A_3}\cdot \overrightarrow{A_1P} 的取值范围为（ ）.
A.
[0,8+62][0,8+6\sqrt2]
B.
[−22,8+62][-2\sqrt2,8+6\sqrt2]
C.
[−8−62,22][-8-6\sqrt2,2\sqrt2]
D.
[−8−62,8+62][-8-6\sqrt2,8+6\sqrt2]

2017 · 上海 · 春季 · 第 16 题 · 选择题

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23平面向量★★★☆☆
设单位向量 e1\boldsymbol{e}_1 与 e2\boldsymbol{e}_2 既不平行也不垂直，对非零向量 a=x1e1+y1e2\boldsymbol{a}=x_1\boldsymbol{e}_1+y_1\boldsymbol{e}_2，b=x2e1+y2e2\boldsymbol{b}=x_2\boldsymbol{e}_1+y_2\boldsymbol{e}_2 有结论：
① 若 x1y2−x2y1=0x_1y_2-x_2y_1=0，则 a∥b\boldsymbol{a}\parallel\boldsymbol{b}； ② 若 x1x2−y1y2=0x_1x_2-y_1y_2=0，则 a⊥b\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{b}.
关于以上两个结论，正确的判断是（ ）.
A.
\circled1\circled{1} 成立，\circled2\circled{2} 不成立
B.
\circled1\circled{1} 不成立，\circled2\circled{2} 成立
C.
\circled1\circled{1} 成立，\circled2\circled{2} 成立
D.
\circled1\circled{1} 不成立，\circled2\circled{2} 不成立

2016 · 上海 · 春季 · 第 23 题 · 选择题

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05解析几何★★★☆☆
已知 M(x0,y0)M(x_0, y_0) 是双曲线 C:x22−y2=1C: \frac{x^2}{2} - y^2 = 1 上的一点，F1F_1，F2F_2 是 CC 的两个焦点. 若 MF1→⋅MF2→<0\overrightarrow{MF_1} \cdot \overrightarrow{MF_2} < 0，则 y0y_0 的取值范围是（ ）
A.
(−33,33)\left(-\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{\sqrt{3}}{3}\right)
B.
(−36,36)\left(-\frac{\sqrt{3}}{6},\frac{\sqrt{3}}{6}\right)
C.
(−223,223)\left(-\frac{2\sqrt{2}}{3},\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)
D.
(−233,233)\left(-\frac{2\sqrt{3}}{3},\frac{2\sqrt{3}}{3}\right)

2015 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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08平面向量★★★☆☆
△ABC\triangle ABC 是边长为 2 的等边三角形，已知向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 满足 AB→=2a\overrightarrow{AB} = 2\boldsymbol{a}，AC→=2a+b\overrightarrow{AC} = 2\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}，则下列结论正确的是（ ）
\begin{solution} 由 BC→=AC→−AB→=b\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}=\boldsymbol{b}，且三角形为边长 22 的等边三角形，得 ∣2a∣=2|2\boldsymbol{a}|=2，∣b∣=∣BC→∣=2|\boldsymbol{b}|=|\overrightarrow{BC}|=2. 又由 ∣2a+b∣=2|2\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|=2，并且 ∣a∣=1|\boldsymbol{a}|=1，可得 4+4a⋅b+4=44+4\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}+4=4，a⋅b=−1\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=-1. 所以 A、B、C 均不正确. 最后
(4a+b)⋅BC→=(4a+b)⋅b=4(−1)+4=0(4\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})\cdot\overrightarrow{BC}=(4\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})\cdot\boldsymbol{b}=4(-1)+4=0
故 (4a+b)⊥BC→(4\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})\perp\overrightarrow{BC}，选 D. \end{solution}
A.
∣b∣=1|\boldsymbol{b}| = 1
B.
a⊥b\boldsymbol{a} \perp \boldsymbol{b}
C.
a⋅b=1\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = 1
D.
(4a+b)⊥BC→(4\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b})\perp \overrightarrow{BC}

2015 · 安徽 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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09平面向量★★★☆☆
已知 AB→⊥AC→\overrightarrow{AB} \perp \overrightarrow{AC}，∣AB→∣=1t|\overrightarrow{AB}| = \frac{1}{t}，∣AC→∣=t|\overrightarrow{AC}| = t. 若点 PP 是 △ABC\triangle ABC 所在平面内的一点，且 AP→=AB→∣AB→∣+4AC→∣AC→∣\overrightarrow{AP} = \frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|} + \frac{4\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}，则 PB→⋅PC→\overrightarrow{PB} \cdot \overrightarrow{PC} 的最大值等于（ ）
A.
13
B.
15
C.
19
D.
21

2015 · 福建 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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08平面向量★★★☆☆
已知点 AA，BB，CC 在圆 x2+y2=1x^{2} + y^{2} = 1 上运动，且 AB⊥BCAB \perp BC. 若点 PP 的坐标为 (2,0)(2,0)，则 ∣PA→+PB→+PC→∣\left|\overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB} + \overrightarrow{PC}\right| 的最大值为（ ）
A.
6
B.
7
C.
8
D.
9

2015 · 湖南 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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09平面向量★★★☆☆
已知点 AA，BB，CC 在圆 x2+y2=1x^{2} + y^{2} = 1 上运动，且 AB⊥BCAB \perp BC. 若点 PP 的坐标为 (2,0)(2,0)，则 ∣PA→+PB→+PC→∣\left|\overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB} + \overrightarrow{PC}\right| 的最大值为（ ）
A.
66
B.
77
C.
88
D.
99

2015 · 湖南 · 文 · 第 9 题 · 选择题

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07平面向量★★★☆☆
设四边形 ABCDABCD 为平行四边形，∣AB→∣=6\left|\overrightarrow{AB}\right| = 6，∣AD→∣=4\left|\overrightarrow{AD}\right| = 4. 若点 MM，NN 满足 BM→=3MC→\overrightarrow{BM} = 3\overrightarrow{MC}，DN→=2NC→\overrightarrow{DN} = 2\overrightarrow{NC}，则 AM→⋅NM→=\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{NM} =（ ）
\begin{solution} 设 AB→=u\overrightarrow{AB}=\boldsymbol{u}，AD→=v\overrightarrow{AD}=\boldsymbol{v}，则 ∣u∣=6\lvert\boldsymbol{u}\rvert=6，∣v∣=4\lvert\boldsymbol{v}\rvert=4，并且 AC→=u+v\overrightarrow{AC}=\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v}. 由内分关系得 AM→=u+34v\overrightarrow{AM}=\boldsymbol{u}+\dfrac34\boldsymbol{v}，AN→=23u+v\overrightarrow{AN}=\dfrac23\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v}，所以 NM→=13u−14v\overrightarrow{NM}=\dfrac13\boldsymbol{u}-\dfrac14\boldsymbol{v}.
于是
AM→⋅NM→=13∣u∣2+(−14+14)u⋅v−316∣v∣2=12−3=9\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{NM}=\frac13\lvert\boldsymbol{u}\rvert^{2}+ \left(-\frac14+\frac14\right)\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{v}-\frac{3}{16}\lvert\boldsymbol{v}\rvert^{2} =12-3=9
故选 C. \end{solution}
A.
2020
B.
1515
C.
99
D.
66

2015 · 四川 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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10平面向量★★★☆☆
在平面直角坐标系中，OO 为原点，A(−1,0)A(-1,0)，B(0,3)B(0,\sqrt{3})，C(3,0)C(3,0). 动点 DD 满足 ∣CD→∣=1\left|\overrightarrow{CD}\right| = 1，则 ∣OA→+OB→+OD→∣\left|\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD}\right| 的取值范围是（ ）
A.
[4, 6]
B.
[19−1,19+1][\sqrt{19} - 1, \sqrt{19} + 1]
C.
[23,27][2\sqrt{3}, 2\sqrt{7}]
D.
[7−1,7+1][\sqrt{7} - 1, \sqrt{7} + 1]

2014 · 湖南 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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11解析几何★★★☆☆
已知抛物线 C:y2=8xC:y^2=8x 与点 M(−2,2)M(-2,2)，过 CC 的焦点且斜率为 kk 的直线与 CC 交于 AA，BB 两点. 若 MA→⋅MB→=0\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0，则 k=k=（ ）
A.
12\frac{1}{2}
B.
22\frac{\sqrt{2}}{2}
C.
2\sqrt{2}
D.
22

2013 · 全国 · 大纲卷 · 理 · 第 11 题 · 选择题

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09平面向量★★★☆☆
已知点 O(0,0)O(0,0)，A(0,b)A(0,b)，B(a,a3)B(a,a^{3}). 若 △OAB\triangle OAB 为直角三角形，则必有（ ）
A.
b=a3b = a^{3}
B.
b=a3+1ab = a^{3} + \frac{1}{a}
C.
(b−a3)(b−a3−1a)=0\left(b - a^{3}\right)\left(b - a^{3} - \frac{1}{a}\right) = 0
D.
∣b−a3∣+∣b−a3−1a∣=0\left|b - a^3\right| + \left|b - a^3 - \frac{1}{a}\right| = 0

2013 · 辽宁 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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09平面向量★★★☆☆
已知点 O(0,0)O(0,0)，A(0,b)A(0,b)，B(a,a3)B(a,a^3). 若 △OAB\triangle OAB 为直角三角形，则必有（ ）
A.
b=a3b = a^3
B.
b=a3+1ab = a^3 + \frac{1}{a}
C.
(b−a3)(b−a3−1a)=0(b - a^3)\left(b - a^3 - \frac{1}{a}\right) = 0
D.
∣b−a3∣+∣b−a3−1a∣=0|b - a^3| + \left|b - a^3 - \frac{1}{a}\right| = 0

2013 · 辽宁 · 文 · 第 9 题 · 选择题

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24解析几何★★★☆☆
已知 AA，BB 为平面内两定点，过该平面内动点 MM 作直线 ABAB 的垂线，垂足为 NN. 若 MN→2=λAN→⋅NB→\overrightarrow{MN}^{2} = \lambda \overrightarrow{AN} \cdot \overrightarrow{NB}，其中 λ\lambda 为常数，则动点 MM 的轨迹不可能是（ ）
A.
圆
B.
椭圆
C.
抛物线
D.
双曲线

2013 · 上海 · 春季 · 第 24 题 · 选择题

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07平面向量★★★☆☆
设 △ABC\triangle ABC，P0P_0 是边 ABAB 上一定点. 满足 P0B=14ABP_0B = \frac{1}{4}AB，且对于边 ABAB 上任一点 PP，恒有 PB→⋅PC→⩾P0B→⋅P0C→\overrightarrow{PB} \cdot \overrightarrow{PC} \geqslant \overrightarrow{P_0B} \cdot \overrightarrow{P_0C}. 则（ ）
A.
∠ABC=90∘\angle ABC = 90^{\circ}
B.
∠BAC=90∘\angle BAC = 90^{\circ}
C.
AB=ACAB = AC
D.
AC=BCAC = BC

2013 · 浙江 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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