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16平面向量★★★☆☆
已知向量 a=(cos⁡x,sin⁡x)\boldsymbol{a}=(\cos x,\sin x)，b=(3,−3)\boldsymbol{b}=(3,-\sqrt3)，x∈[0,π]x\in[0,\pi].
(1) 若 a∥b\boldsymbol{a}\parallel \boldsymbol{b}，求 xx 的值； (2) 记 f(x)=a⋅bf(x)=\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b}，求 f(x)f(x) 的最大值和最小值以及对应的 xx 的值.

2017 · 江苏 · 第 16 题 · 解答题

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21平面向量★★★☆☆
如图，在 △ABC\triangle ABC 中，∠ABC=90∘\angle ABC=90^\circ，BD⊥ACBD\perp AC，DD 为垂足，EE 是 BCBC 的中点. 求证：∠EDC=∠ABD\angle EDC=\angle ABD.

2016 · 江苏 · 第 21 题（A） · 解答题

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17三角函数★★★☆☆
△ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 所对的边分别为 aa，bb，cc. 向量 m=(a,3b)\boldsymbol{m} = (a, \sqrt{3} b) 与 n=(cos⁡A,sin⁡B)\boldsymbol{n} = (\cos A, \sin B) 平行.
(1) 求 AA； (2) 若 a=7a = \sqrt{7}，b=2b = 2，求 △ABC\triangle ABC 的面积.

2015 · 陕西 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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17三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，内角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc，且 a>ca > c，已知 BA→⋅BC→=2\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = 2，cos⁡B=13\cos B = \frac{1}{3}，b=3b = 3，求：
(1) aa 和 cc 的值； (2) cos⁡(B−C)\cos (B - C) 的值.

2014 · 辽宁 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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16平面向量★★★☆☆
已知向量 a=(m,cos⁡2x)\boldsymbol{a} = (m, \cos 2x)，b=(sin⁡2x,n)\boldsymbol{b} = (\sin 2x, n)，函数 f(x)=a⋅bf(x) = \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}，且 y=f(x)y = f(x) 的图象过点 (π12,3)\left(\frac{\pi}{12}, \sqrt{3}\right) 和点 (2π3,−2)\left(\frac{2\pi}{3}, -2\right).
(1) 求 mm，nn 的值； (2) 将 y=f(x)y = f(x) 的图象向左平移 φ\varphi（0<φ<π0 < \varphi < \pi）个单位后得到函数 y=g(x)y = g(x) 的图象. 若 y=g(x)y = g(x) 的图象上各最高点到点 (0,3)(0,3) 的距离的最小值为 1，求 y=g(x)y = g(x) 的单调增区间.

2014 · 山东 · 理 · 第 16 题 · 解答题

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18立体几何初步★★★☆☆
如图，四棱锥 P−ABCDP - ABCD 中，AP⊥AP \perp 平面 PCDPCD，AD∥BCAD \parallel BC，AB=BC=12ADAB = BC = \frac{1}{2} AD，EE，FF 分别为线段 ADAD，PCPC 的中点.
(1) 求证：AP∥AP \parallel 平面 BEFBEF； (2) 求证：BE⊥BE \perp 平面 PACPAC.

2014 · 山东 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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18立体几何初步★★★☆☆
在如图所示的多面体中，四边形 ABB1A1ABB_{1}A_{1} 和 ACC1A1ACC_{1}A_{1} 都为矩形.
(1) 若 AC⊥BCAC \perp BC，证明：直线 BC⊥BC \perp 平面 ACC1A1ACC_{1}A_{1}； (2) 设 DD，EE 分别是线段 BCBC，CC1CC_{1} 的中点，在线段 ABAB 上是否存在一点 MM，使直线 DE∥DE \parallel 平面 A1MCA_{1}MC？请证明你的结论.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 设 u=AA1→\boldsymbol{u}=\overrightarrow{AA_{1}}，v=AB→\boldsymbol{v}=\overrightarrow{AB}，w=AC→\boldsymbol{w}=\overrightarrow{AC}. 由两个四边形为矩形，得 u⋅v=0\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{v}=0，u⋅w=0\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{w}=0. 又 BC→=w−v\overrightarrow{BC}=\boldsymbol{w}-\boldsymbol{v}，所以 BC→⋅u=0\overrightarrow{BC}\cdot\boldsymbol{u}=0，即 BC⊥AA1BC\perp AA_{1}. 已知 AC⊥BCAC\perp BC，而 ACAC 与 AA1AA_{1} 是平面 ACC1A1ACC_{1}A_{1} 内相交的两条直线，因此 BC⊥BC\perp 平面 ACC1A1ACC_{1}A_{1}. \item 取 MM 为 ABAB 的中点. 用上面的向量记号，有 DE→=12(u+w−v)\overrightarrow{DE}=\frac12\left(\boldsymbol{u}+\boldsymbol{w}-\boldsymbol{v}\right)，A1M→=12v−u\overrightarrow{A_{1}M}=\frac12\boldsymbol{v}-\boldsymbol{u}，A1C→=w−u\overrightarrow{A_{1}C}=\boldsymbol{w}-\boldsymbol{u}. 从而
DE→=−A1M→+12A1C→\overrightarrow{DE}=-\overrightarrow{A_{1}M}+\frac12\overrightarrow{A_{1}C}
右端是平面 A1MCA_{1}MC 内两条相交直线方向向量的线性组合，所以直线 DEDE 的方向平行于平面 A1MCA_{1}MC. 又因 ABCABC 是三角形，且 u\boldsymbol{u} 同时垂直于 v\boldsymbol{v}，w\boldsymbol{w}，故 u\boldsymbol{u}，v\boldsymbol{v}，w\boldsymbol{w} 线性无关. 若 DD 在平面 A1MCA_{1}MC 内，则存在实数 λ\lambda，μ\mu，使
A1D→=12(v+w)−u=λ(12v−u)+μ(w−u)\overrightarrow{A_{1}D}=\frac12(\boldsymbol{v}+\boldsymbol{w})-\boldsymbol{u}=\lambda\left(\frac12\boldsymbol{v}-\boldsymbol{u}\right)+\mu(\boldsymbol{w}-\boldsymbol{u})
比较 v\boldsymbol{v}，w\boldsymbol{w}，u\boldsymbol{u} 的系数，分别得到 λ=1\lambda=1，μ=12\mu=\frac12，λ+μ=1\lambda+\mu=1，矛盾. 因此 DD 不在平面 A1MCA_{1}MC 内，故 DE∥DE\parallel 平面 A1MCA_{1}MC. 因此存在这样的点 MM，且它是线段 ABAB 的中点. \end{enumerate} \end{solution}

2014 · 四川 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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18平面向量★★★☆☆
在直角坐标系 xOyxOy 中，已知点 A(1,1)A(1,1)，B(2,3)B(2,3)，C(3,2)C(3,2)，点 P(x,y)P(x,y) 在 △ABC\triangle ABC 三边围成的区域（含边界）上.
(1) 若 PA→+PB→+PC→=0\overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB} + \overrightarrow{PC} = 0，求 ∣OP→∣\left|\overrightarrow{OP}\right|. (2) 设 OP→=mAB→+nAC→\overrightarrow{OP} = m\overrightarrow{AB} + n\overrightarrow{AC}（mm，n∈Rn \in \mathbf{R}），用 xx，yy 表示 m−nm - n，并求 m−nm - n 的最大值.

2014 · 陕西 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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18平面向量★★★☆☆
在直角坐标系 xOyxOy 中，已知点 A(1,1)A(1,1)，B(2,3)B(2,3)，C(3,2)C(3,2). 点 P(x,y)P(x,y) 在 △ABC\triangle ABC 三边围成的区域（含边界）上，且 OP→=mAB→+nAC→\overrightarrow{OP} = m\overrightarrow{AB} + n\overrightarrow{AC} （mm，n∈Rn \in \mathbf{R}）.
(1) 若 m=n=23m = n = \frac{2}{3}，求 ∣OP→∣\left|\overrightarrow{OP}\right|. (2) 用 xx，yy 表示 m−nm - n，并求 m−nm - n 的最大值.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item AB→=(1,2)\overrightarrow{AB}=(1,2)，AC→=(2,1)\overrightarrow{AC}=(2,1). 当 m=n=23m=n=\frac23 时，
OP→=23(1,2)+23(2,1)=(2,2)\overrightarrow{OP}=\frac23(1,2)+\frac23(2,1)=(2,2)
所以 ∣OP→∣=22+22=22\left|\overrightarrow{OP}\right|=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt2.
\item 由
(x,y)=m(1,2)+n(2,1)=(m+2n,2m+n)(x,y)=m(1,2)+n(2,1)=(m+2n,2m+n)
两式相减得 m−n=y−xm-n=y-x. 设 PP 在三角形 ABCABC 内的重心坐标为 P=αA+βB+γCP=\alpha A+\beta B+\gamma C，其中 α+β+γ=1\alpha+\beta+\gamma=1，且 α\alpha，β\beta，γ⩾0\gamma\geqslant0. 在三个顶点处，y−xy-x 的值分别为 00，11，−1-1，所以
m−n=y−x=0α+1β−1γ⩽1m-n=y-x=0\alpha+1\beta-1\gamma\leqslant1
当 P=BP=B 时取等号，故 m−nm-n 的最大值为 11. \end{enumerate} \end{solution}

2014 · 陕西 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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17平面向量★★★☆☆
设向量 a=(3sin⁡x,sin⁡x)\boldsymbol{a} = (\sqrt{3}\sin x, \sin x)，b=(cos⁡x,sin⁡x)\boldsymbol{b} = (\cos x, \sin x)，x∈[0,π2]x \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right].
(1) 若 ∣a∣=∣b∣\left|\boldsymbol{a}\right| = \left|\boldsymbol{b}\right|，求 xx 的值； (2) 设函数 f(x)=a⋅bf(x) = \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}，求 f(x)f(x) 的最大值.

2013 · 辽宁 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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17平面向量★★★☆☆
(1) 设向量 a=(3sin⁡x,sin⁡x)\boldsymbol{a} = (\sqrt{3}\sin x, \sin x)，b=(cos⁡x,sin⁡x)\boldsymbol{b} = (\cos x, \sin x)，x∈[0,π2]x \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right]. 若 ∣a∣=∣b∣\left|\boldsymbol{a}\right| = \left|\boldsymbol{b}\right|，求 xx 的值； (2) 设函数 f(x)=a⋅bf(x) = \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}，求 f(x)f(x) 的最大值.

2013 · 辽宁 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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28解析几何★★★☆☆
已知椭圆 CC 的两个焦点分别为 F1(−1,0)F_{1}(-1,0)，F2(1,0)F_{2}(1,0)，短轴的两个端点分别为 B1B_{1}，B2B_{2}.
(1) 若 △F1B1B2\triangle F_{1}B_{1}B_{2} 为等边三角形，求椭圆 CC 的方程； (2) 若椭圆 CC 的短轴长为 22，过点 F2F_{2} 的直线 ll 与椭圆 CC 相交于 PP，QQ 两点，且 F1P→⊥F1Q→\overrightarrow{F_{1}P} \perp \overrightarrow{F_{1}Q}，求直线 ll 的方程.

2013 · 上海 · 春季 · 第 28 题 · 解答题

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29解析几何★★★☆☆
已知抛物线 C:y2=4xC: y^{2} = 4x 的焦点为 FF.
(1) 点 AA，PP 满足 AP→=−2FA→\overrightarrow{AP} = -2\overrightarrow{FA}. 当点 AA 在抛物线 CC 上运动时，求动点 PP 的轨迹方程； (2) 在 xx 轴上是否存在点 QQ，使得点 QQ 关于直线 y=2xy = 2x 的对称点在抛物线 CC 上？如果存在，求所有满足条件的点 QQ 的坐标；如果不存在，请说明理由.

2013 · 上海 · 春季 · 第 29 题 · 解答题

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15平面向量★★★☆☆
已知 a=(cos⁡α,sin⁡α)\boldsymbol{a}=(\cos\alpha,\sin\alpha)，b=(cos⁡β,sin⁡β)\boldsymbol{b}=(\cos\beta,\sin\beta)，0<β<α<π0<\beta<\alpha<\pi.
(1) 若 ∣a−b∣=2\left|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}\right|=\sqrt2，求证：a⊥b\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{b}； (2) 设 c=(0,1)\boldsymbol{c}=(0,1)，若 a+b=c\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=\boldsymbol{c}，求 α\alpha，β\beta 的值.

2013 · 江苏 · 第 15 题 · 解答题

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18平面向量★★★☆☆
小波以游戏方式决定是去打球，唱歌还是去下棋，游戏规则为：以 OO 为起点，再从 A1A_{1}，A2A_{2}，A3A_{3}，A4A_{4}，A5A_{5}，A6A_{6}（如图）这 66 个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为 XX，若 X>0X > 0 就去打球，若 X=0X = 0 就去唱歌，若 X<0X < 0 就去下棋.
(1) 写出数量积 XX 的所有可能取值； (2) 分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率.

2013 · 江西 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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17三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc，且 cos⁡(A−B)cos⁡B−sin⁡(A−B)sin⁡(A+C)=−35\cos\left(A-B\right)\cos B-\sin\left(A-B\right)\sin\left(A+C\right)=-\frac35.
(1) 求 sin⁡A\sin A 的值； (2) 若 a=42a=4\sqrt2，b=5b=5，求向量 BA→\overrightarrow{BA} 在 BC→\overrightarrow{BC} 方向上的投影.

2013 · 四川 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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18平面向量★★★☆☆
已知向量 a=(cos⁡x,−12)\boldsymbol{a}=\left(\cos x,-\dfrac12\right)，b=(3sin⁡x,cos⁡2x)\boldsymbol{b}=\left(\sqrt3\sin x,\cos2x\right)，x∈Rx\in\mathbf{R}，设函数 f(x)=a⋅bf(x)=\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}.
(1) 求 f(x)f(x) 的最小正周期. (2) 求 f(x)f(x) 在 [0,π2]\left[0,\dfrac\pi2\right] 上的最大值和最小值.

2013 · 陕西 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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18平面向量★★★☆☆
已知向量 a=(cos⁡x,−12)\boldsymbol{a} = \left(\cos x, -\frac{1}{2}\right)，b=(3sin⁡x,cos⁡2x)\boldsymbol{b} = (\sqrt{3} \sin x, \cos 2x)，x∈Rx \in \mathbf{R}，设函数 f(x)=a⋅bf(x) = \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}.
(1) 求 f(x)f(x) 的最小正周期. (2) 求 f(x)f(x) 在 [0,π2]\left[0, \frac{\pi}{2}\right] 上的最大值和最小值.

2013 · 陕西 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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21解析几何★★★☆☆
已知双曲线 C1:x2−y24=1C_1:x^2-\dfrac{y^2}{4}=1.
(1) 求与双曲线 C1C_1 有相同的焦点，且过点 P(4,3)P(4,\sqrt3) 的双曲线 C2C_2 的标准方程； (2) 直线 l:y=x+ml:y=x+m 分别交双曲线 C1C_1 的两条渐近线于 AA，BB 两点. 当 OA→⋅OB→=3\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=3 时，求实数 mm 的值.

2012 · 上海 · 春季 · 第 21 题 · 解答题

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15三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，已知 AB→⋅AC→=3BA→⋅BC→\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 3\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC}.
(1) 求证：tan⁡B=3tan⁡A\tan B = 3\tan A. (2) 若 cos⁡C=55\cos C = \frac{\sqrt{5}}{5}，求 AA 的值.

2012 · 江苏 · 第 15 题 · 解答题

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17平面向量★★★☆☆
已知向量 m=(sin⁡x,1)\boldsymbol{m} = (\sin x, 1)，n=(3Acos⁡x,A2cos⁡2x)\boldsymbol{n} = (\sqrt{3}A \cos x, \frac{A}{2} \cos 2x)（A>0A > 0），函数 f(x)=m⋅nf(x) = \boldsymbol{m} \cdot \boldsymbol{n} 的最大值为 6.
(1) 求 AA； (2) 将函数 y=f(x)y = f(x) 的图象向左平移 π12\frac{\pi}{12} 个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的 12\frac{1}{2} 倍，纵坐标不变，得到函数 y=g(x)y = g(x) 的图象，求 g(x)g(x) 在 [0,5π24]\left[0, \frac{5\pi}{24}\right] 上的值域.

2012 · 山东 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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19平面向量★★★☆☆
已知向量 a=(sin⁡2x−1,cos⁡x)\boldsymbol{a} = (\sin 2x - 1, \cos x)， b=(1,2cos⁡x)\boldsymbol{b} = (1, 2\cos x). 设函数 f(x)=a⋅bf(x) = \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}，求：
(1) 函数 f(x)f(x) 的最小正周期； (2) x∈[0,π2]x \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right] 时函数 f(x)f(x) 的最大值.

2011 · 上海 · 春季 · 第 19 题 · 解答题

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18三角函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=Asin⁡(π3x+φ)f(x) = A \sin \left( \frac{\pi}{3} x + \varphi \right)，x∈Rx \in \mathbf{R}，A>0A > 0，0<φ<π20 < \varphi < \frac{\pi}{2}. y=f(x)y = f(x) 的部分图象如图所示，PP，QQ 分别为该图象的最高点和最低点，点 PP 的坐标为 (1,A)(1,A).
(1) 求 f(x)f(x) 的最小正周期及 φ\varphi 的值； (2) 若点 RR 的坐标为 (1,0)(1,0)，∠PRQ=2π3\angle PRQ = \frac{2\pi}{3}，求 AA 的值.

2011 · 浙江 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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21解析几何★★★☆☆
设 λ>0\lambda > 0，点 AA 的坐标为 (1,1)(1,1)，点 BB 在抛物线 y=x2y = x^2 上运动，点 QQ 满足 BQ→=λQA→\overrightarrow{BQ} = \lambda \overrightarrow{QA}，经过点 QQ 与 xx 轴垂直的直线交抛物线于点 MM，点 PP 满足 QM→=λMP→\overrightarrow{QM} = \lambda \overrightarrow{MP}，求点 PP 的轨迹方程.

2011 · 安徽 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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18立体几何初步★★★☆☆
如图，在 △ABC\triangle ABC 中，∠ABC=60∘\angle ABC = 60^{\circ}，∠BAC=90∘\angle BAC = 90^{\circ}，ADAD 是 BCBC 上的高，沿 ADAD 把 △ABD\triangle ABD 折起，使 ∠BDC=90∘\angle BDC = 90^{\circ}.
(1) 证明：平面 ADB⊥ADB\perp 平面 BDCBDC； (2) 设 EE 为 BCBC 的中点，求 AE→\overrightarrow{AE} 与 DB→\overrightarrow{DB} 夹角的余弦值.

2011 · 陕西 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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