数迹
题目列表试卷列表
共找到 34 题
排序：
组题
本页 25 题去组卷
15复数★★★☆☆
对于任意两个复数 zz，ww，如果满足 z−wz-w 为实数，或 z−w‾z-\overline{w} 为实数，那么就称 zz 与 ww 伴随. 如果 zz 与 ww 伴随，则 w−iw-\mathrm{i} 与 z+iz+\mathrm{i} 伴随的充要条件是（ ）
A.
Rez+Rew=0\mathrm{Re} z+\mathrm{Re} w=0
B.
Rez−Rew=0\mathrm{Re} z-\mathrm{Re} w=0
C.
Imz+Imw=0\mathrm{Im} z+\mathrm{Im} w=0
D.
Imz−Imw=0\mathrm{Im} z-\mathrm{Im} w=0

2026 · 上海 · 第 15 题 · 选择题

查看答案和解析
15解析几何★★★☆☆
已知 A(0,1)A(0,1)，B(1,2)B(1,2)，CC 在 Γ:x2−y2=1\Gamma:x^2-y^2=1（x≥1x\ge1，y≥0y\ge0） 上，则 △ABC\triangle ABC 的面积（ ）
A.
有最大值，但没有最小值
B.
没有最大值，但有最小值
C.
既有最大值，也有最小值
D.
既没有最大值，也没有最小值

2025 · 上海 · 第 15 题 · 选择题

查看答案和解析
15平面向量★★★☆☆
已知空间直角坐标系 OxyzOxyz 中的点集 Ω\Omega，对任意的 P1P_1，P2P_2，P3∈ΩP_3\in \Omega，均存在不全为 00 的实数 λ1\lambda_1，λ2\lambda_2，λ3\lambda_3，使得 λ1OP1→+λ2OP2→+λ3OP3→=0\lambda_1\overrightarrow{OP_1}+\lambda_2\overrightarrow{OP_2}+\lambda_3\overrightarrow{OP_3}=\boldsymbol{0}. 若 (1,0,0)∈Ω(1,0,0)\in \Omega，则 (0,0,1)∉Ω(0,0,1)\notin \Omega 的一个充分条件是（ ）
A.
(0,0,0)∈Ω(0,0,0)\in \Omega
B.
(−1,0,0)∈Ω(-1,0,0)\in \Omega
C.
(0,−1,0)∈Ω(0,-1,0)\in \Omega
D.
(0,0,−1)∈Ω(0,0,-1)\in \Omega

2024 · 上海 · 第 15 题 · 选择题

查看答案和解析
15三角函数★★★☆☆
已知 a>0a>0，函数 y=sin⁡xy=\sin x 在区间 [a,2a]\left[a,2a\right] 上的最小值为 ss，在区间 [2a,3a]\left[2a,3a\right] 上的最小值为 tt，当 aa 变化时，下列一定不成立的是（ ）.
A.
s>0,t>0s>0,t>0
B.
s>0s>0，t<0t<0
C.
s<0s<0，t<0t<0
D.
s<0s<0，t>0t>0

2023 · 上海 · 第 15 题 · 选择题

查看答案和解析
15立体几何初步★★★☆☆
在棱长为 1010 的正方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 中，PP 为左侧面 ADD1A1ADD_1A_1 上一点，已知点 PP 到 A1D1A_1D_1 的距离为 33，PP 到 AA1AA_1 的距离为 22，则过点 PP 且与 A1CA_1C 平行的直线交正方体于 PP，QQ 两点，则 QQ 点所在的平面是（ ）
A.
AA1B1BAA_1B_1B
B.
BB1C1CBB_1C_1C
C.
CC1D1DCC_1D_1D
D.
ABCDABCD

2020 · 上海 · 第 15 题 · 选择题

查看答案和解析
16集合与逻辑基础★★★☆☆
命题 pp：存在 a∈Ra\in\mathbf{R} 且 a≠0a\neq0，对于任意的 x∈Rx\in\mathbf{R}，使得 f(x+a)<f(x)+f(a)f(x+a)<f(x)+f(a)；
命题 q1q_1：f(x)f(x) 单调递减且 f(x)>0f(x)>0 恒成立；
命题 q2q_2：f(x)f(x) 单调递增，存在 x0<0x_0<0 使得 f(x0)=0f(x_0)=0，
则下列说法正确的是（ ）
A.
只有 q1q_1 是 pp 的充分条件
B.
只有 q2q_2 是 pp 的充分条件
C.
q1q_1，q2q_2 都是 pp 的充分条件
D.
q1q_1，q2q_2 都不是 pp 的充分条件

2020 · 上海 · 第 16 题 · 选择题

查看答案和解析
15数列★★★☆☆
已知 aa，bb，cc 为实常数，数列 {xn}\{x_n\} 的通项 xn=an2+bn+cx_n=an^2+bn+c，n∈N∗n\in\mathbf{N}^*，则“存在 k∈N∗k\in\mathbf{N}^*，使得 x100+kx_{100+k}，x200+kx_{200+k}，x300+kx_{300+k} 成等差数列”的一个必要条件是（ ）
A.
a≥0a\ge0
B.
b≤0b\le0
C.
c=0c=0
D.
a−2b+c=0a-2b+c=0

2017 · 上海 · 第 15 题 · 选择题

查看答案和解析
16解析几何★★★☆☆
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，已知椭圆 C1:x236+y24=1C_1:\dfrac{x^2}{36}+\dfrac{y^2}{4}=1 和 C2:x2+y29=1C_2:x^2+\dfrac{y^2}{9}=1. PP 为 C1C_1 上的动点，QQ 为 C2C_2 上的动点，ww 是 OP→⋅OQ→\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OQ} 的最大值. 记 Ω={(P,Q)∣P 在 C1 上，Q 在 C2 上，且OP→⋅OQ→=w}\Omega=\{(P,Q)\mid P\text{ 在 }C_1\text{ 上，}Q\text{ 在 }C_2\text{ 上，且}\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OQ}=w\}，则 Ω\Omega 中元素个数为（ ）
A.
22个
B.
44个
C.
88个
D.
含有无穷个元素

2017 · 上海 · 第 16 题 · 选择题

查看答案和解析
17数列★★★☆☆
已知无穷等比数列 {an}\{a_n\} 的公比为 qq，前 nn 项和为 SnS_n，且 lim⁡n→∞Sn=S\displaystyle\lim_{n\to\infty}S_n=S，下列条件中，使得 2Sn<S2S_n<S（n∈N∗n\in\mathbf{N}^*）恒成立的是（ ）
A.
a1>0, 0.6<q<0.7a_1>0,\ 0.6<q<0.7
B.
a1<0a_1<0， −0.7<q<−0.6\ -0.7<q<-0.6
C.
a1>0a_1>0， 0.7<q<0.8\ 0.7<q<0.8
D.
a1<0a_1<0， −0.8<q<−0.7\ -0.8<q<-0.7

2016 · 上海 · 理 · 第 17 题 · 选择题

查看答案和解析
17数列★★★☆☆
记方程①： x2+a1x+1=0x^{2} + a_{1}x + 1 = 0，方程②： x2+a2x+2=0x^{2} + a_{2}x + 2 = 0，方程③： x2+a3x+4=0x^{2} + a_{3}x + 4 = 0，其中 a1a_{1}，a2a_{2}，a3a_{3} 是正实数. 当 a1a_{1}，a2a_{2}，a3a_{3} 成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（ ）
A.
方程①有实根，且②有实根
B.
方程①有实根，且②无实根
C.
方程①无实根，且②有实根
D.
方程①无实根，且②无实根

2015 · 上海 · 理 · 第 17 题 · 选择题

查看答案和解析
17解析几何★★★☆☆
已知 P1(a1,b1)P_{1}(a_{1}, b_{1}) 与 P2(a2,b2)P_{2}(a_{2}, b_{2}) 是直线 y=kx+1y = kx + 1（kk 为常数）上两个不同的点，则关于 xx 和 yy 的方程组
{a1x+b1y=1,a2x+b2y=1\begin{cases} a_{1}x + b_{1}y = 1,\\ a_{2}x + b_{2}y = 1 \end{cases}
的解的情况是（ ）
A.
无论 k,P1,P2k, P_{1}, P_{2} 如何，总是无解
B.
无论 kk，P1P_{1}，P2P_{2} 如何，总有唯一解
C.
存在 kk，P1P_{1}，P2P_{2}，使之恰有两解
D.
存在 kk，P1P_{1}，P2P_{2}，使之有无穷多解

2014 · 上海 · 理 · 第 17 题 · 选择题

查看答案和解析
18函数与初等函数★★★☆☆
设
f(x)={(x−a)2,x⩽0,x+1x+a,x>0,f(x) = \begin{cases} (x - a)^2, & x \leqslant 0,\\ x + \frac{1}{x} + a, & x > 0, \end{cases}
若 f(0)f(0) 是 f(x)f(x) 的最小值，则 aa 的取值范围为（ ）
A.
[−1,2][-1, 2]
B.
[−1,0][-1,0]
C.
[1,2][1, 2]
D.
[0,2][0,2]

2014 · 上海 · 理 · 第 18 题 · 选择题

查看答案和解析
16复数★★★☆☆
已知互异的复数 aa，bb 满足 ab≠0ab \neq 0，集合 {a,b}={a2,b2}\{a, b\} = \{a^2, b^2\}，则 a+b=a + b =（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
\begin{solution} 由于 a≠ba\ne b，集合相等时不可能同时有 a=a2a=a^2 和 b=b2b=b^2，否则由 ab≠0ab\ne0 得 a=b=1a=b=1. 因而只能有 a=b2a=b^2、b=a2b=a^2. 代入得 a=a4a=a^4，而 a≠0a\ne0，所以 a3=1a^3=1. 若 a=1a=1，则 b=a2=1b=a^2=1，与互异矛盾；故 aa 是非实的三次单位根，且 b=a2b=a^2. 由 1+a+a2=01+a+a^2=0，得 a+b=a+a2=−1a+b=a+a^2=-1，选 D. \end{solution}
A.
22
B.
11
C.
00
D.
−1-1

2014 · 上海 · 文 · 第 16 题 · 选择题

查看答案和解析
18解析几何★★★☆☆
已知 P1(a1,b1)P_{1}(a_{1}, b_{1}) 与 P2(a2,b2)P_{2}(a_{2}, b_{2}) 是直线 y=kx+1y = kx + 1（kk 为常数）上两个不同的点，则关于 xx 和 yy 的方程组
{a1x+b1y=1,a2x+b2y=1\begin{cases} a_{1}x + b_{1}y = 1,\\ a_{2}x + b_{2}y = 1 \end{cases}
的解的情况是（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 由 PiP_i 在直线 y=kx+1y=kx+1 上，有 bi=kai+1b_i=ka_i+1（i=1i=1，22）. 方程组的系数行列式为 a1b2−a2b1=a1(ka2+1)−a2(ka1+1)=a1−a2a_1b_2-a_2b_1=a_1(ka_2+1)-a_2(ka_1+1)=a_1-a_2. 若 a1=a2a_1=a_2，则由同一直线方程可得 b1=b2b_1=b_2，与两点不同矛盾，因此 a1−a2≠0a_1-a_2\ne0. 系数行列式非零，方程组始终有唯一解，选 B. \end{solution}
A.
无论 k,P1,P2k, P_{1}, P_{2} 如何，总是无解
B.
无论 kk，P1P_{1}，P2P_{2} 如何，总有唯一解
C.
存在 kk，P1P_{1}，P2P_{2}，使之恰有两解
D.
存在 kk，P1P_{1}，P2P_{2}，使之有无穷多解

2014 · 上海 · 文 · 第 18 题 · 选择题

查看答案和解析
15集合与逻辑基础★★★☆☆
设常数 a∈Ra \in \mathbf{R}，集合 A={x∣(x−1)(x−a)⩾0}A=\{x\mid(x-1)(x-a)\geqslant 0\}，B={x∣x⩾a−1}B=\{x\mid x\geqslant a-1\}. 若 A∪B=RA\cup B=\mathbf{R}，则 aa 的取值范围为（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 当 a⩽1a\leqslant1 时，
A=(−∞,a]∪[1,+∞)A=(-\infty,a]\cup[1,+\infty)
而 B=[a−1,+∞)B=[a-1,+\infty). 因为 a−1<aa-1<a，三段合起来覆盖整个实数轴.
当 a>1a>1 时，
A=(−∞,1]∪[a,+∞)A=(-\infty,1]\cup[a,+\infty)
要使 A∪B=RA\cup B=\mathbf{R}，必须使 BB 的左端点满足 a−1⩽1a-1\leqslant1，即 a⩽2a\leqslant2；反之 1<a⩽21<a\leqslant2 时确实有 A∪B=RA\cup B=\mathbf{R}. 综上 a⩽2a\leqslant2，故选 B. \end{solution}
A.
(−∞,2)(-\infty,2)
B.
(−∞,2](-\infty,2]
C.
(2,+∞)(2,+\infty)
D.
[2,+∞)[2,+\infty)

2013 · 上海 · 理 · 第 15 题 · 选择题

查看答案和解析
17数列★★★☆☆
在数列 {an}\{a_n\} 中，an=2n−1a_n=2^n-1，若一个 77 行 1212 列的矩阵的第 ii 行第 jj 列的元素 aij=ai⋅aj+ai+aja_{ij}=a_i\cdot a_j+a_i+a_j （i=1i=1，22，⋯\cdots，7; j=17;\ j=1，22，⋯\cdots，1212），则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为（ ）
\begin{answer} A \end{answer}
\begin{solution} 由 an=2n−1a_n=2^n-1，有
aij=aiaj+ai+aj=(ai+1)(aj+1)−1=2i+j−1a_{ij}=a_i a_j+a_i+a_j=(a_i+1)(a_j+1)-1=2^{i+j}-1
其中 i=1i=1，…\ldots，77，j=1j=1，…\ldots，1212，所以 i+ji+j 可以取从 22 到 1919 的每一个整数，共有 19−2+1=1819-2+1=18 个不同值. 故选 A. \end{solution}
A.
18
B.
28
C.
48
D.
63

2013 · 上海 · 理 · 第 17 题 · 选择题

查看答案和解析
16集合与逻辑基础★★★☆☆
设常数 a∈Ra \in \mathbf{R}，集合 A={x∣(x−1)(x−a)⩾0}A = \{x \mid \left(x - 1\right)\left(x - a\right) \geqslant 0\}，B={x∣x⩾a−1}B = \{x \mid x \geqslant a - 1\}. 若 A∪B=RA \cup B = \mathbf{R}，则 aa 的取值范围为（\quad）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 若 a⩽1a\leqslant1，则
A=(−∞,a]∪[1,+∞),B=[a−1,+∞)A=(-\infty,a]\cup[1,+\infty),\qquad B=[a-1,+\infty)
由于 a−1⩽aa-1\leqslant a，此时 A∪B=RA\cup B=\mathbf{R}.
若 a>1a>1，则
A=(−∞,1]∪[a,+∞),B=[a−1,+∞)A=(-\infty,1]\cup[a,+\infty),\qquad B=[a-1,+\infty)
要覆盖区间 (1,a)(1,a)，必须且只需 a−1⩽1a-1\leqslant1，即 a⩽2a\leqslant2. 综合两种情形，a⩽2a\leqslant2，故选 B. \end{solution}
A.
(−∞,2)\left(-\infty, 2\right)
B.
(−∞,2]\left(-\infty, 2\right]
C.
(2,+∞)\left(2, +\infty\right)
D.
[2,+∞)\left[2, +\infty\right)

2013 · 上海 · 文 · 第 16 题 · 选择题

查看答案和解析
16三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，若 sin⁡2A+sin⁡2B<sin⁡2C\sin^2 A + \sin^2 B < \sin^2 C，则 △ABC\triangle ABC 的形状是（ ）
A.
锐角三角形
B.
直角三角形
C.
钝角三角形
D.
不能确定

2012 · 上海 · 理 · 第 16 题 · 选择题

查看答案和解析
17三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，若 sin⁡2A+sin⁡2B<sin⁡2C\sin^{2} A + \sin^{2} B < \sin^{2} C，则 △ABC\triangle ABC 的形状是（ ）
A.
钝角三角形
B.
直角三角形
C.
锐角三角形
D.
不能确定

2012 · 上海 · 文 · 第 17 题 · 选择题

查看答案和解析
17函数与初等函数★★★☆☆
若 x0x_0 是方程 (12)x=x13\left(\frac{1}{2}\right)^x = x^{\frac{1}{3}} 的解，则 x0x_0 属于区间（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
\begin{solution} 左边 (12)x\left(\frac12\right)^x 始终为正，所以方程的解必须满足 x>0x>0. 对 x>0x>0 两边取自然对数，得 xln⁡12=13ln⁡xx\ln\frac12=\frac13\ln x，即 x⋅8x=1\text{即 }x\cdot 8^x=1. 函数 g(x)=x8xg(x)=x8^x 在 x>0x>0 上严格递增，因为 g′(x)=8x(1+xln⁡8)>0g'(x)=8^x(1+x\ln8)>0，所以方程至多有一个正根.
又 g(13)=13⋅2=23<1g\left(\frac13\right)=\frac13\cdot2=\frac23<1，g(12)=12⋅8=2>1g\left(\frac12\right)=\frac12\cdot\sqrt8=\sqrt2>1. 由连续性，方程的根属于 (13,12)\left(\frac13,\frac12\right)，故选 C. \end{solution}
A.
(23,1)\left(\frac{2}{3},1\right)
B.
(12,23)\left(\frac{1}{2}, \frac{2}{3}\right)
C.
(13,12)\left(\frac{1}{3}, \frac{1}{2}\right)
D.
(0,13)\left(0, \frac{1}{3}\right)

2010 · 上海 · 理 · 第 17 题 · 选择题

查看答案和解析
18三角函数★★★☆☆
某人要作一个三角形，要求它的三条高的长度分别是 113\frac{1}{13}，111\frac{1}{11}，15\frac{1}{5}，则此人将（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
\begin{solution} 设三角形面积为 Δ\Delta，三条高分别为 hah_a，hbh_b，hch_c，对应边分别为 aa，bb，cc. 由 Δ=12aha=12bhb=12chc\Delta=\frac12ah_a=\frac12bh_b=\frac12ch_c，得边长之比为
a:b:c=1ha:1hb:1hc=13:11:5a:b:c=\frac1{h_a}:\frac1{h_b}:\frac1{h_c}=13:11:5
因为 11+5>1311+5>13，这三个数能作成三角形. 其中最长边为 1313，且
132=169>112+52=14613^2=169>11^2+5^2=146
由余弦定理的逆定理，最长边所对的角为钝角，所以应作出一个钝角三角形，选 D. \end{solution}
A.
不能作出满足要求的三角形
B.
作出一个锐角三角形
C.
作出一个直角三角形
D.
作出一个钝角三角形

2010 · 上海 · 理 · 第 18 题 · 选择题

查看答案和解析
17函数与初等函数★★★☆☆
若 x0x_0 是方程 lg⁡x+x=2\lg x + x = 2 的解，则 x0x_0 属于区间（ ）
A.
(0,1)(0,1)
B.
(1,1.25)(1, 1.25)
C.
(1.25,1.75)(1.25, 1.75)
D.
(1.75,2)(1.75, 2)

2010 · 上海 · 文 · 第 17 题 · 选择题

查看答案和解析
18概率与统计★★★☆☆
在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续 1010 天，每天新增疑似病例不超过 77 人”. 根据过去 1010 天甲，乙，丙，丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是（ ）
A.
甲地：总体均值为 33，中位数为 44
B.
乙地：总体均值为 11，总体方差大于 00
C.
丙地：中位数为 22，众数为 33
D.
丁地：总体均值为 22，总体方差为 33

2009 · 上海 · 文 · 第 18 题 · 选择题

查看答案和解析
14平面向量★★★☆☆
直角坐标系 xOyxOy 中，i\boldsymbol{i}，j\boldsymbol{j} 分别是与 xx，yy 轴正方向同向的单位向量. 在直角三角形 ABCABC 中，若 AB→=2i+j\overrightarrow{AB} = 2\boldsymbol{i} + \boldsymbol{j}，AC→=3i+kj\overrightarrow{AC} = 3\boldsymbol{i} + k\boldsymbol{j}，则 kk 的可能个数是（ ）
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4

2007 · 上海 · 理 · 第 14 题 · 选择题

查看答案和解析
15集合与逻辑基础★★★☆☆
设 f(x)f(x) 是定义在正整数集上的函数，且 f(x)f(x) 满足：“当 f(k)⩾k2f(k) \geqslant k^2 成立时，总可推出 f(k+1)⩾(k+1)2f(k + 1) \geqslant (k + 1)^2 成立”. 那么，下列命题总成立的是（ ）
A.
若 f(3)⩾9f(3) \geqslant 9 成立，则当 k⩾1k \geqslant 1 时，均有 f(k)⩾k2f(k) \geqslant k^2 成立
B.
若 f(5)⩾25f(5) \geqslant 25 成立，则当 k⩽5k \leqslant 5 时，均有 f(k)⩾k2f(k) \geqslant k^2 成立
C.
若 f(7)<49f(7) < 49 成立，则当 k⩾8k \geqslant 8 时，均有 f(k)<k2f(k) < k^2 成立
D.
若 f(4)=25f(4) = 25 成立，则当 k⩾4k \geqslant 4 时，均有 f(k)⩾k2f(k) \geqslant k^2 成立

2007 · 上海 · 理 · 第 15 题 · 选择题

查看答案和解析