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07函数与初等函数★★★☆☆
函数 y=2x32x+2−xy=\dfrac{2x^3}{2^x+2^{-x}} 在 [−6,6][-6,6] 的图象大致为（ ）
A.
B.
C.
D.

2019 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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08立体几何初步★★★☆☆
如图，点 NN 为正方形 ABCDABCD 的中心，△ECD\triangle ECD 为正三角形，平面 ECD⊥ECD\perp 平面 ABCDABCD，MM 是线段 EDED 的中点，则（ ）
A.
BM=ENBM=EN，且直线 BMBM，ENEN 是相交直线
B.
BM≠ENBM\ne EN，且直线 BMBM，ENEN 是相交直线
C.
BM=ENBM=EN，且直线 BMBM，ENEN 是异面直线
D.
BM≠ENBM\ne EN，且直线 BMBM，ENEN 是异面直线

2019 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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10解析几何★★★☆☆
双曲线 C:x24−y22=1C:\dfrac{x^2}{4}-\dfrac{y^2}{2}=1 的右焦点为 FF，点 PP 在 CC 的一条渐近线上，OO 为坐标原点. 若 ∣PO∣=∣PF∣|PO|=|PF|，则 △PFO\triangle PFO 的面积为（ ）
A.
324\dfrac{3\sqrt2}{4}
B.
322\dfrac{3\sqrt2}{2}
C.
222\sqrt2
D.
323\sqrt2

2019 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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11函数与初等函数★★★☆☆
设 f(x)f(x) 是定义域为 R\mathbf{R} 的偶函数，且在 (0,+∞)(0,+\infty) 单调递减，则（ ）
A.
f ⁣(log⁡314)>f ⁣(2−32)>f ⁣(2−23)f\!\left(\log_3\frac14\right)>f\!\left(2^{-\frac{3}{2}}\right)>f\!\left(2^{-\frac{2}{3}}\right)
B.
f ⁣(log⁡314)>f ⁣(2−23)>f ⁣(2−32)f\!\left(\log_3\frac14\right)>f\!\left(2^{-\frac{2}{3}}\right)>f\!\left(2^{-\frac{3}{2}}\right)
C.
f ⁣(2−32)>f ⁣(2−23)>f ⁣(log⁡314)f\!\left(2^{-\frac{3}{2}}\right)>f\!\left(2^{-\frac{2}{3}}\right)>f\!\left(\log_3\frac14\right)
D.
f ⁣(2−23)>f ⁣(2−32)>f ⁣(log⁡314)f\!\left(2^{-\frac{2}{3}}\right)>f\!\left(2^{-\frac{3}{2}}\right)>f\!\left(\log_3\frac14\right)

2019 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 11 题 · 选择题

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15解析几何★★★☆☆
设 F1F_1，F2F_2 为椭圆 C:x236+y220=1C:\dfrac{x^2}{36}+\dfrac{y^2}{20}=1 的两个焦点，MM 为 CC 上一点且在第一象限. 若 △MF1F2\triangle MF_1F_2 为等腰三角形，则 MM 的坐标为______.

2019 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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16立体几何初步★★★☆☆
学生到工厂劳动实践，利用 3D3\mathrm{D} 打印技术制作模型. 如图，该模型为长方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 挖去四棱锥 O−EFGHO-EFGH 后所得的几何体，其中 OO 为长方体的中心，EE，FF，GG，HH 分别为所在棱的中点，AB=BC=6 cmAB=BC=6\text{ cm}，AA1=4 cmAA_1=4\text{ cm}. 3D3\mathrm{D} 打印所用原料密度为 0.9 g/cm30.9\text{ g/cm}^3. 不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为______g\mathrm{g}.

2019 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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17概率与统计★★★☆☆
为了解甲，乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将 200200 只小鼠随机分成 AA，BB 两组，每组 100100 只，其中 AA 组小鼠给服甲离子溶液，BB 组小鼠给服乙离子溶液. 每只小鼠给服的溶液体积相同，摩尔浓度相同. 经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比. 根据试验数据分别得到如下直方图：
记 CC 为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于 5.55.5” ，根据直方图得到 P(C)P(C) 的估计值为 0.700.70.
(1) 求乙离子残留百分比直方图中 aa，bb 的值； (2) 分别估计甲，乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.
=0pt

2019 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18三角函数★★★☆☆
△ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc. 已知 asin⁡A+C2=bsin⁡Aa\sin\dfrac{A+C}{2}=b\sin A.
(1) 求 BB； (2) 若 △ABC\triangle ABC 为锐角三角形，且 c=1c=1，求 △ABC\triangle ABC 面积的取值范围.

2019 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★☆☆
图 11 是由矩形 ADEBADEB，Rt△ABC\mathrm{Rt}\triangle ABC 和菱形 BFGCBFGC 组成的一个平面图形，其中 AB=1AB=1，BE=BF=2BE=BF=2，∠FBC=60∘\angle FBC=60^\circ. 将其沿 ABAB，BCBC 折起使得 BEBE 与 BFBF 重合，连接 DGDG，如图 22.
(1) 证明：图 22 中的 AA，CC，GG，DD 四点共面，且平面 ABC⊥ABC\perp 平面 BCGEBCGE； (2) 求图 22 中的二面角 B−CG−AB-CG-A 的大小.

2019 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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22解析几何★★★☆☆
如图，在极坐标系 OxOx 中，A(2,0)A(2,0)，B(2,π4)B(\sqrt2,\dfrac{\pi}{4})，C(2,3π4)C(\sqrt2,\dfrac{3\pi}{4})，D(2,π)D(2,\pi)，弧 AB^\widehat{AB}，BC^\widehat{BC}，CD^\widehat{CD} 所在圆的圆心分别是 (1,0)(1,0)，(1,π2)(1,\dfrac{\pi}{2})，(1,π)(1,\pi)，曲线 M1M_1 是弧 AB^\widehat{AB}，曲线 M2M_2 是弧 BC^\widehat{BC}，曲线 M3M_3 是弧 CD^\widehat{CD}.
(1) 分别写出 M1M_1，M2M_2，M3M_3 的极坐标方程； (2) 曲线 MM 由 M1M_1，M2M_2，M3M_3 构成，若点 PP 在 MM 上，且 ∣OP∣=3|OP|=\sqrt3，求 PP 的极坐标.

2019 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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23不等式★★★☆☆
设 xx，yy，z∈Rz\in\mathbf{R}，且 x+y+z=1x+y+z=1.
(1) 求 (x−1)2+(y+1)2+(z+1)2(x-1)^2+(y+1)^2+(z+1)^2 的最小值； (2) 若 (x−2)2+(y−1)2+(z−a)2≥13(x-2)^2+(y-1)^2+(z-a)^2\ge \dfrac13 成立，证明：a≤−3a\le -3 或 a≥−1a\ge -1.

2019 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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08立体几何初步★★★☆☆
如图，点 NN 为正方形 ABCDABCD 的中心，△ECD\triangle ECD 为正三角形，平面 ECD⊥ECD\perp 平面 ABCDABCD，MM 是线段 EDED 的中点，则（ ）
A.
BM=ENBM=EN，且直线 BM,ENBM,EN 是相交直线
B.
BM≠ENBM\ne EN，且直线 BMBM，ENEN 是相交直线
C.
BM=ENBM=EN，且直线 BMBM，ENEN 是异面直线
D.
BM≠ENBM\ne EN，且直线 BMBM，ENEN 是异面直线

2019 · 全国 · 三卷 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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10解析几何★★★☆☆
已知 FF 是双曲线 C:x24−y25=1C:\dfrac{x^2}{4}-\dfrac{y^2}{5}=1 的一个焦点，点 PP 在 CC 上，OO 为坐标原点. 若 ∣OP∣=∣OF∣|OP|=|OF|，则 △OPF\triangle OPF 的面积为（ ）
A.
32\dfrac32
B.
52\dfrac52
C.
72\dfrac72
D.
92\dfrac92

2019 · 全国 · 三卷 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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11集合与逻辑基础★★★☆☆
记不等式组 x+y≥6x+y\ge6，2x−y>02x-y>0 表示的平面区域为 DD. 命题 pp：∃(x,y)∈D\exists (x,y)\in D，2x+y≥92x+y\ge9；命题 qq：∀(x,y)∈D\forall (x,y)\in D，2x+y≤122x+y\le12. 下面给出了四个命题：
① p∨qp\vee q； ② ¬p∨q\neg p\vee q； ③ p∧¬qp\wedge\neg q； ④ ¬p∧¬q\neg p\wedge\neg q.
这四个命题中，所有真命题的编号是（ ）
A.
\circled1\circled3\circled{1}\circled{3}
B.
\circled1\circled2\circled{1}\circled{2}
C.
\circled2\circled3\circled{2}\circled{3}
D.
\circled3\circled4\circled{3}\circled{4}

2019 · 全国 · 三卷 · 文 · 第 11 题 · 选择题

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15解析几何★★★☆☆
设 F1F_1，F2F_2 为椭圆 C:x236+y220=1C:\dfrac{x^2}{36}+\dfrac{y^2}{20}=1 的两个焦点，MM 为 CC 上一点且在第一象限. 若 △MF1F2\triangle MF_1F_2 为等腰三角形，则 MM 的坐标为______.

2019 · 全国 · 三卷 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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16立体几何初步★★★☆☆
学生到工厂劳动实践，利用 3D3D 打印技术制作模型. 如图，该模型为长方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 挖去四棱锥 O−EFGHO-EFGH 后所得的几何体，其中 OO 为长方体的中心，EE，FF，GG，HH 分别为所在棱的中点，AB=BC=6 cmAB=BC=6\mathrm{~cm}，AA1=4 cmAA_1=4\mathrm{~cm}. 3D3D 打印所用原料密度为 0.9 g/cm30.9\mathrm{~g/cm^3}. 不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为______g\mathrm{g}.

2019 · 全国 · 三卷 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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17概率与统计★★★☆☆
为了解甲，乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将 200200 只小鼠随机分成 AA，BB 两组，每组 100100 只，其中 AA 组小鼠给服甲离子溶液，BB 组小鼠给服乙离子溶液. 每只小鼠给服的溶液体积相同，摩尔浓度相同. 经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比. 根据试验数据分别得到如图直方图：
记 CC 为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于 5.55.5”，根据直方图得到 P(C)P(C) 的估计值为 0.700.70.
(1) 求乙离子残留百分比直方图中 aa，bb 的值； (2) 分别估计甲，乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.

2019 · 全国 · 三卷 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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18三角函数★★★☆☆
△ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc. 已知 asin⁡A+C2=bsin⁡Aa\sin\frac{A+C}{2}=b\sin A.
(1) 求 BB； (2) 若 △ABC\triangle ABC 为锐角三角形，且 c=1c=1，求 △ABC\triangle ABC 面积的取值范围.

2019 · 全国 · 三卷 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★☆☆
图 1 是由矩形 ADEBADEB，Rt△ABC\mathrm{Rt}\triangle ABC 和菱形 BFGCBFGC 组成的一个平面图形，其中 AB=1AB=1，BE=BF=2BE=BF=2，∠FBC=60∘\angle FBC=60^\circ. 将其沿 ABAB，BCBC 折起使得 BEBE 与 BFBF 重合，连结 DGDG，如图 2.
(1) 证明：图 2 中的 AA，CC，GG，DD 四点共面，且平面 ABC⊥ABC\perp 平面 BCGEBCGE； (2) 求图 2 中的四边形 ACGDACGD 的面积.

2019 · 全国 · 三卷 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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22解析几何★★★☆☆
如图，在极坐标系 OxOx 中，A(2,0)A(2,0)，B(2,π4)B\left(\sqrt2,\frac{\pi}{4}\right)，C(2,3π4)C\left(\sqrt2,\frac{3\pi}{4}\right)，D(2,π)D(2,\pi)，弧 AB^\widehat{AB}，BC^\widehat{BC}，CD^\widehat{CD} 所在圆的圆心分别是 (1,0)(1,0)，(1,π2)\left(1,\frac{\pi}{2}\right)，(1,π)(1,\pi)，曲线 M1M_1 是弧 AB^\widehat{AB}，曲线 M2M_2 是弧 BC^\widehat{BC}，曲线 M3M_3 是弧 CD^\widehat{CD}.
(1) 分别写出 M1M_1，M2M_2，M3M_3 的极坐标方程； (2) 曲线 MM 由 M1M_1，M2M_2，M3M_3 构成，若点 PP 在 MM 上，且 ∣OP∣=3|OP|=\sqrt3，求 PP 的极坐标.

2019 · 全国 · 三卷 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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