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05解析几何★★★☆☆
已知 F1F_1，F2F_2 是双曲线 CC 的两个焦点，PP 为 CC 上一点，且 ∠F1PF2=60∘\angle F_1PF_2=60^\circ，PF1=3PF2PF_1=3PF_2，则 CC 的离心率为（ ）
A.
72\dfrac{\sqrt{7}}{2}
B.
132\dfrac{\sqrt{13}}{2}
C.
7\sqrt{7}
D.
13\sqrt{13}

2021 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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07数列★★★☆☆
等比数列 {an}\{a_n\} 的公比为 qq，前 nn 项和为 SnS_n，设甲：q>0q>0，乙：{Sn}\{S_n\} 是递增数列，则（ ）
A.
甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.
甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.
甲是乙的充要条件
D.
甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

2021 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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08三角函数★★★☆☆
2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为 8848.868848.86（单位：m\mathrm{m}），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一. 如图是三角高程测量法的一个示意图，现有 AA，BB，CC 三点，且 AA，BB，CC 在同一水平面上的投影 A′A'，B′B'，C′C' 满足 ∠A′C′B′=45∘\angle A'C'B'=45^\circ，∠A′B′C′=60∘\angle A'B'C'=60^\circ. 由 CC 点测得 BB 点的仰角为 15∘15^\circ，BB′BB' 与 CC′CC' 的差为 100100；由 BB 点测得 AA 点的仰角为 45∘45^\circ，则 AA，CC 两点到水平面 A′B′C′A'B'C' 的高度差 AA′−CC′AA'-CC' 约为（3≈1.732\sqrt{3}\approx 1.732）（ ）
A.
346346
B.
373373
C.
446446
D.
473473

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09三角函数★★★☆☆
若 α∈(0,π2)\alpha\in \left( 0,\frac{\pi}{2} \right)，tan⁡2α=cos⁡α2−sin⁡α\tan 2\alpha=\dfrac{\cos \alpha}{2-\sin \alpha}，则 tan⁡α=\tan \alpha=（ ）
A.
1515\dfrac{\sqrt{15}}{15}
B.
55\dfrac{\sqrt{5}}{5}
C.
53\dfrac{\sqrt{5}}{3}
D.
153\dfrac{\sqrt{15}}{3}

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10概率与统计★★★☆☆
将 44 个 11 和 22 个 00 随机排成一行，则 22 个 00 不相邻的概率为（ ）
A.
13\frac{1}{3}
B.
25\frac{2}{5}
C.
23\frac{2}{3}
D.
45\frac{4}{5}

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15解析几何★★★☆☆
已知 F1F_1，F2F_2 为椭圆 C:x216+y24=1C:\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{4}=1 的两个焦点，PP，QQ 为 CC 上关于坐标原点对称的两点，且 PQ=F1F2PQ=F_1F_2，则四边形 PF1QF2PF_1QF_2 的面积为______.

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18数列★★★☆☆
已知数列 {an}\{a_n\} 的各项均为正数，记 SnS_n 为 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和，从下面三个条件中选取两个作为条件，证明另外一个成立.
① 数列 {an}\{a_n\} 是等差数列； ② 数列 {Sn}\left\{\sqrt{S_n}\right\} 是等差数列； ③ a2=3a1a_2=3a_1.

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22解析几何★★★☆☆
在直角坐标系 xOyxOy 中，以坐标原点为极点，xx 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 CC 的极坐标方程为 ρ=22cos⁡θ\rho=2\sqrt{2}\cos \theta.
(1) 将 CC 的极坐标方程化为直角坐标方程； (2) 设点 AA 的直角坐标为 (1,0)(1,0)，MM 为 CC 上的动点，点 PP 满足 AP→=2AM→\overrightarrow{AP}=\sqrt{2}\overrightarrow{AM}，写出 PP 的轨迹 C1C_1 的参数方程，并判断 CC 与 C1C_1 是否有公共点.

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23不等式★★★☆☆
已知函数 f(x)=∣x−2∣f(x)=|x-2|，g(x)=∣2x+3∣−∣2x−1∣g(x)=|2x+3|-|2x-1|.
(1) 画出 y=f(x)y=f(x) 和 y=g(x)y=g(x) 的图像； (2) 若 f(x+a)≥g(x)f(x+a)\ge g(x)，求 aa 的取值范围.

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11三角函数★★★☆☆
若 α∈(0,π2)\alpha\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)，tan⁡2α=cos⁡α2−sin⁡α\tan 2\alpha=\frac{\cos\alpha}{2-\sin\alpha}，则 tan⁡α=\tan\alpha=（ ）
A.
1515\frac{\sqrt{15}}{15}
B.
55\frac{\sqrt{5}}{5}
C.
53\frac{\sqrt{5}}{3}
D.
153\frac{\sqrt{15}}{3}

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12函数与初等函数★★★☆☆
设 f(x)f(x) 是定义域为 R\mathbf{R} 的奇函数，且 f(1+x)=f(−x)f(1+x)=f(-x). 若 f(−13)=13f\left(-\frac{1}{3}\right)=\frac{1}{3}，则 f(53)=f\left(\frac{5}{3}\right)=（ ）
A.
−53-\frac{5}{3}
B.
−13-\frac{1}{3}
C.
13\frac{1}{3}
D.
53\frac{5}{3}

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16解析几何★★★☆☆
已知 F1F_1，F2F_2 为椭圆 C:x216+y24=1C:\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1 的两个焦点，PP，QQ 为 CC 上关于坐标原点对称的两点，且 ∣PQ∣=∣F1F2∣|PQ|=|F_1F_2|，则四边形 PF1QF2PF_1QF_2 的面积为______.

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17概率与统计★★★☆☆
甲，乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品. 为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了 200200 件产品，产品的质量情况统计如下表：
(1) 甲机床，乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？ (2) 能否有 99%99\% 的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？
附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)K^2=\dfrac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}

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18数列★★★☆☆
记 SnS_n 为数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和，已知 an>0a_n>0，a2=3a1a_2=3a_1，且数列 {Sn}\{\sqrt{S_n}\} 是等差数列，证明：{an}\{a_n\} 是等差数列.

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19立体几何初步★★★☆☆
已知直三棱柱 ABC−A1B1C1ABC-A_1B_1C_1 中，侧面 AA1B1BAA_1B_1B 为正方形，AB=BC=2AB=BC=2，EE，FF 分别为 ACAC 和 CC1CC_1 的中点，BF⊥A1B1BF\perp A_1B_1.
(1) 求三棱锥 F−EBCF-EBC 的体积； (2) 已知 DD 为棱 A1B1A_1B_1 上的点，证明：BF⊥DEBF\perp DE.

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22解析几何★★★☆☆
在直角坐标系 xOyxOy 中，以坐标原点为极点，xx 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 CC 的极坐标方程为 ρ=22cos⁡θ\rho=2\sqrt{2}\cos\theta.
(1) 将 CC 的极坐标方程化为直角坐标方程； (2) 设点 AA 的直角坐标为 (1,0)(1,0)，MM 为 CC 上的动点，点 PP 满足 AP→=2AM→\overrightarrow{AP}=\sqrt{2}\overrightarrow{AM}，写出 PP 的轨迹 C1C_1 的参数方程，并判断 CC 与 C1C_1 是否有公共点.

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23不等式★★★☆☆
已知函数 f(x)=∣x−2∣f(x)=|x-2|，g(x)=∣2x+3∣−∣2x−1∣g(x)=|2x+3|-|2x-1|.
(1) 画出 y=f(x)y=f(x) 和 y=g(x)y=g(x) 的图像； (2) 若 f(x+a)≥g(x)f(x+a)\ge g(x)，求 aa 的取值范围.

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