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1513分概率与统计★★★☆☆
从某厂生产的某种电子产品中随机抽取了若干件进行试验，测试它们首次出现故障的时间（单位：天），由试验结果得到如下频率分布直方图：
(1) 估计这种电子产品首次出现故障的时间的第一四分位数及中位数（假设数据在组内均匀分布）； (2) 记 p^\hat{p} 为 11 件这种电子产品首次出现故障的时间小于 365365 天的概率的估计值.
(i) 求 p^\hat{p}； (ii) 该厂向某用户销售 100100 件这种电子产品，记 XX 为这 100100 件电子产品中首次出现故障的时间小于 365365 天的件数，假设 X∼B(100,p^)X\sim B\left( 100,\hat{p} \right)，求 E(X)E\left( X \right)，D(X)D\left( X \right).

2026 · 全国 · 二卷 · 第 15 题 · 解答题

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1513分三角函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=cos⁡(2x+φ)f(x)=\cos(2x+\varphi)（0≤φ<π0\le \varphi<\pi），且 f(0)=12f(0)=\frac12.
(1) 求 φ\varphi； (2) 设函数 g(x)=f(x)+f(x−π6)g(x)=f(x)+f\left(x-\frac{\pi}{6}\right)，求 g(x)g(x) 的值域和单调区间.

2025 · 全国 · 二卷 · 第 15 题 · 解答题

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1715分立体几何初步★★★☆☆
如图，在四边形 ABCDABCD 中，AB//CDAB//CD，∠DAB=90∘\angle DAB=90^\circ，FF 为 CDCD 的中点，点 EE 在 ABAB 上，EF//ADEF//AD，AB=3ADAB=3AD，CD=2ADCD=2AD.
将四边形 EFDAEFDA 沿 EFEF 翻折至四边形 EFD′A′EFD'A'，使得面 EFD′A′EFD'A' 与面 EFCBEFCB 所成的二面角为 60∘60^\circ.
(1) 证明：A′B//A'B// 平面 CD′FCD'F； (2) 求面 BCD′BCD' 与面 EFD′A′EFD'A' 所成的二面角的正弦值.

2025 · 全国 · 二卷 · 第 17 题 · 解答题

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17概率与统计★★★☆☆
某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲，乙两个车间的产品中随机抽取 150 件150\text{ 件} 进行检验，数据如下：
优级品合格品不合格品总计
(1) 填写如下列联表：
优级品非优级品
能否有 95%95\% 的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有 99%99\% 的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异？ (2) 已知升级改造前该工厂产品的优级品率 p=0.5p=0.5，设 pˉ\bar p 为升级改造后抽取的 n 件n\text{ 件} 产品的优级品率. 如果 pˉ>p+1.65p(1−p)n\bar p>p+1.65\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}，则认为该工厂产品的优级品率提高了. 根据抽取的 150 件150\text{ 件} 产品的数据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？（150≈12.247\sqrt{150}\approx 12.247）
附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)K^2=\frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}
P(K2≥k)P\left( K^2\ge k \right)0.0500.0100.001

2024 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18数列★★★☆☆
记 SnS_n 为数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和，且 4Sn=3an+44S_n=3a_n+4.
(1) 求 {an}\{a_n\} 的通项公式； (2) 设 bn=(−1)n−1nanb_n=\left( -1 \right)^{n-1}na_n，求数列 {bn}\{b_n\} 的前 nn 项和 TnT_n.

2024 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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17数列★★★☆☆
记 SnS_n 为等比数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和，已知 2Sn=3an+1−32S_n=3a_{n+1}-3.
(1) 求 {an}\{a_n\} 的通项公式； (2) 求数列 {Sn}\{S_n\} 的前 nn 项和.

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18概率与统计★★★☆☆
某工厂进行生产线智能化升级改造. 升级改造后，从该工厂甲，乙两个车间的产品中随机抽取 150 件150\text{ 件} 进行检验，数据如下：
优级品合格品不合格品总计
乙车间70282100
(1) 填写如下列联表：
优级品非优级品
乙车间\fillinblank{}\fillinblank{}
能否有 95%95\% 的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有 99%99\% 的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异？ (2) 已知升级改造前该工厂产品的优级品率 p=0.5p=0.5. 设 pˉ\bar p 为升级改造后抽取的 n 件n\text{ 件} 产品的优级品率，如果 pˉ>p+1.65p(1−p)n\bar p>p+1.65\sqrt{\dfrac{p(1-p)}n}，则认为该工厂产品的优级品率提高了. 根据抽取的 150 件150\text{ 件} 产品的数据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？（150≈12.247\sqrt{150}\approx12.247）
附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)K^2=\dfrac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}，P(K2≥k)P(K^2\ge k) 的临界值如下：
0.0500.0100.001

2024 · 全国 · 甲卷 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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22解析几何★★★☆☆
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，以坐标原点 OO 为极点，xx 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 CC 的极坐标方程为 ρ=ρcos⁡θ+1\rho=\rho\cos\theta+1.
(1) 写出 CC 的直角坐标方程； (2) 设直线 ll 的参数方程为
{x=t,y=t+a (t 为参数)\begin{cases} x=t,\\ y=t+a \end{cases}\ (t\text{ 为参数})
，若 CC 与 ll 相交于 AA，BB 两点，且 ∣AB∣=2|AB|=2，求 aa.

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18三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，已知 ∠BAC=120∘\angle BAC=120^\circ，AB=2AB=2，AC=1AC=1.
(1) 求 sin⁡∠ABC\sin \angle ABC； (2) 若 DD 为 BCBC 上一点，且 ∠BAD=90∘\angle BAD=90^\circ，求 △ADC\triangle ADC 的面积.

2023 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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22解析几何★★★☆☆
在直角坐标系 xOyxOy 中，以坐标原点 OO 为极点，xx 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C1C_1 的极坐标方程为 ρ=2sin⁡θ\rho=2\sin\theta（π4≤θ≤π2\frac{\pi}{4}\le\theta\le\frac{\pi}{2}），曲线 C2C_2 的参数方程为 x=2cos⁡αx=2\cos\alpha，y=2sin⁡αy=2\sin\alpha（α\alpha 为参数，π2<α<π\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi）.
(1) 写出 C1C_1 的直角坐标方程； (2) 若直线 y=x+my=x+m 既与 C1C_1 没有公共点，也与 C2C_2 没有公共点，求 mm 的取值范围.

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23不等式★★★☆☆
已知 f(x)=2∣x∣+∣x−2∣f(x)=2|x|+|x-2|.
(1) 求不等式 f(x)≤6−xf(x)\le6-x 的解集； (2) 在直角坐标系 xOyxOy 中，求由不等式 f(x)≤yf(x)\le y 与 x+y−6≤0x+y-6\le0 所确定的平面区域的面积.

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18数列★★★☆☆
记 SnS_n 为等差数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和，已知 a2=11a_2=11，S10=40S_{10}=40.
(1) 求 {an}\{a_n\} 的通项公式； (2) 求数列 {∣an∣}\{|a_n|\} 的前 nn 项和 TnT_n.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 设等差数列 {an}\{a_n\} 的首项为 a1a_1，公差为 dd，则 a2=a1+d=11a_2=a_1+d=11. 又因为 S10=102(2a1+9d)=40S_{10}=\dfrac{10}{2}(2a_1+9d)=40，所以 2a1+9d=82a_1+9d=8. 联立得 a1=13a_1=13，d=−2d=-2，从而 an=a1+(n−1)d=13−2(n−1)=15−2na_n=a_1+(n-1)d=13-2(n-1)=15-2n. \item 当 1≤n≤71\le n\le7 时，an=15−2n>0a_n=15-2n>0，所以 Tn=∑k=1n(15−2k)=n(14−n)T_n=\sum_{k=1}^n(15-2k)=n(14-n).
当 n≥8n\ge8 时，a1a_1，…\ldots，a7a_7 为正数，且 ak<0a_k<0（k≥8k\ge8），因此 Tn=∑k=17(15−2k)+∑k=8n(2k−15)=49+(n−7)2T_n=\sum_{k=1}^7(15-2k)+\sum_{k=8}^n(2k-15)=49+(n-7)^2. 综上，
Tn={n(14−n),1≤n≤7,49+(n−7)2,n≥8.T_n=\begin{cases} n(14-n),&1\le n\le7,\\ 49+(n-7)^2,&n\ge8. \end{cases}
\end{enumerate} \end{solution}

2023 · 全国 · 乙卷 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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17三角函数★★★☆☆
记 △ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc，已知 sin⁡Csin⁡(A−B)=sin⁡Bsin⁡(C−A)\sin C\sin \left( A-B \right)=\sin B\sin \left( C-A \right).
(1) 证明：2a2=b2+c22a^2=b^2+c^2； (2) 若 a=5a=5，cos⁡A=2531\cos A=\frac{25}{31}，求 △ABC\triangle ABC 的周长.

2022 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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19概率与统计★★★☆☆
某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山. 为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了 1010 棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：m2\mathrm{m}^2）和材积量（单位：m3\mathrm{m}^3），得到如下数据：
并计算得 ∑i=110xi2=0.038\sum_{i=1}^{10}x_i^2=0.038，∑i=110yi2=1.6158\sum_{i=1}^{10}y_i^2=1.6158，∑i=110xiyi=0.2474\sum_{i=1}^{10}x_iy_i=0.2474.
附：相关系数 r=∑i=1n(xi−xˉ)(yi−yˉ)∑i=1n(xi−xˉ)2∑i=1n(yi−yˉ)2r=\frac{\sum_{i=1}^{n}\left( x_i-\bar{x} \right)\left( y_i-\bar{y} \right)}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left( x_i-\bar{x} \right)^2\sum_{i=1}^{n}\left( y_i-\bar{y} \right)^2}}，1.896≈1.377\sqrt{1.896}\approx1.377.
(1) 估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量； (2) 求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到 0.010.01）； (3) 现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为 186m2186\mathrm{m}^2. 已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比. 利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值.

2022 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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22解析几何★★★☆☆
在直角坐标系 xOyxOy 中，曲线 CC 的参数方程为 x=3cos⁡2tx=\sqrt{3}\cos 2t，y=2sin⁡ty=2\sin t（tt 为参数），以坐标原点为极点，xx 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线 ll 的极坐标方程为 ρsin⁡(θ+π3)+m=0\rho \sin \left( \theta+\frac{\pi}{3} \right)+m=0.
(1) 写出 ll 的直角坐标方程； (2) 若 ll 与 C 有公共点，求 mm 的取值范围.

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23不等式★★★☆☆
已知 aa，bb，cc 都是正数，且 a32+b32+c32=1a^{\frac{3}{2}}+b^{\frac{3}{2}}+c^{\frac{3}{2}}=1，证明：
(1) abc≤19abc\le \frac{1}{9}； (2) ab+c+ba+c+ca+b≤12abc\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\le \frac{1}{2\sqrt{abc}}.

2022 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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17三角函数★★★☆☆
已知 △ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc，且 sin⁡Csin⁡(A−B)=sin⁡Bsin⁡(C−A)\sin C\sin\left(A-B\right)=\sin B\sin\left(C-A\right).
(1) 若 A=2BA=2B，求 CC； (2) 证明：2a2=b2+c22a^2=b^2+c^2.

2022 · 全国 · 乙卷 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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18立体几何初步★★★☆☆
如图，四面体 ABCDABCD 中，AD⊥CDAD\perp CD，AD=CDAD=CD，∠ADB=∠CDB\angle ADB=\angle CDB，EE 为 ACAC 的中点.
① 证明：平面 BED⊥BED\perp 平面 ACDACD；
② 设 AB=BD=2AB=BD=2，∠ACB=60∘\angle ACB=60^\circ，点 FF 在 BDBD 上，当 △AFC\triangle AFC 的面积最小时，求三棱锥 F−ABCF-ABC 的体积.

2022 · 全国 · 乙卷 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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19概率与统计★★★☆☆
某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山. 为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了 1010 棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：m2\text{m}^2）和材积量（单位：m3\text{m}^3），得到如下数据：
样本号 ii12345
材积量 yiy_i0.250.400.220.540.51
样本号 ii678910
------------------
材积量 yiy_i0.340.360.460.420.40
并计算得 ∑i=110xi=0.6\sum_{i=1}^{10}x_i=0.6，∑i=110yi=3.9\sum_{i=1}^{10}y_i=3.9，∑i=110xi2=0.038\sum_{i=1}^{10}x_i^2=0.038； ∑i=110yi2=1.6158\sum_{i=1}^{10}y_i^2=1.6158，∑i=110xiyi=0.2474\sum_{i=1}^{10}x_iy_i=0.2474.
(1) 估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量； (2) 求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到 0.010.01）； (3) 现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为 186 m2186\text{ m}^2. 已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值.
附：相关系数 r=∑i=1n(xi−xˉ)(yi−yˉ)∑i=1n(xi−xˉ)2∑i=1n(yi−yˉ)2r=\dfrac{\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sqrt{\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2\sum_{i=1}^n(y_i-\bar{y})^2}}，且 1.896≈1.377\sqrt{1.896}\approx1.377.

2022 · 全国 · 乙卷 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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22解析几何★★★☆☆
在直角坐标系 xOyxOy 中，曲线 CC 的参数方程为 x=3cos⁡2tx=\sqrt3\cos2t，y=2sin⁡ty=2\sin t（tt 为参数），以坐标原点为极点，xx 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线 ll 的极坐标方程为 ρsin⁡(θ+π3)+m=0\rho\sin\left(\theta+\frac{\pi}{3}\right)+m=0.
(1) 写出 ll 的直角坐标方程； (2) 若 ll 与 C 有公共点，求 mm 的取值范围.

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23不等式★★★☆☆
已知 aa，bb，c>0c>0，且 a32+b32+c32=1a^{\frac32}+b^{\frac32}+c^{\frac32}=1. 证明：
(1) abc≤19abc\le\dfrac19； (2) ab+c+bc+a+ca+b≤12abc\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\le\dfrac{1}{2\sqrt{abc}}.

2022 · 全国 · 乙卷 · 文 · 第 23 题 · 解答题

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18立体几何初步★★★☆☆
如图，四棱锥 P−ABCDP-ABCD 的底面是矩形，PD⊥PD\perp 底面 ABCDABCD，PD=DC=1PD=DC=1，MM 为 BCBC 的中点，且 PB⊥AMPB\perp AM.
(1) 求 BCBC； (2) 求二面角 A−PM−BA-PM-B 的正弦值.

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22解析几何★★★☆☆
在直角坐标系 xOyxOy 中，圆 CC 的圆心为 C(2,1)C(2,1)，半径为 11.
(1) 写出圆 CC 的一个参数方程； (2) 过点 F(4,1)F(4,1) 作圆 CC 的两条切线. 以坐标原点为极点，xx 轴正半轴为极轴建立坐标系，求这两条切线的极坐标方程.

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23不等式★★★☆☆
已知函数 f(x)=∣x−a∣+∣x+3∣f(x)=|x-a|+|x+3|.
(1) 当 a=1a=1 时，求不等式 f(x)≥6f(x)\ge 6 的解集； (2) 若 f(x)>−af(x)>-a，求 aa 的取值范围.

2021 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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18立体几何初步★★★☆☆
如图，四棱锥 P−ABCDP-ABCD 的底面是矩形，PD⊥PD\perp 底面 ABCDABCD，MM 为 BCBC 的中点，且 PB⊥AMPB\perp AM.
(1) 证明：平面 PAM⊥PAM\perp 平面 PBDPBD； (2) 若 PD=DC=1PD=DC=1，求四棱锥 P−ABCDP-ABCD 的体积.

2021 · 全国 · 乙卷 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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