坡屋顶是我国传统建筑造型之一, 蕴含着丰富的数学元素。安装灯带可以勾勒出建筑轮廓, 展现造型之美。如图, 某坡屋顶可视为一个五面体, 其中两个面是全等的等腰梯形, 两个面是全等的等腰三角形。若 $AB = 25\text{ m}$, $BC = 10\text{ m}$, 且等腰梯形所在平面、等腰三角形所在平面与平面 $ABCD$ 的夹角的正切值均为 $\frac{\sqrt{14}}{5}$, 则该五面体的所有棱长之和为 （ ）

已知命题 $p$: 若 $\alpha, \beta$ 为第一象限角, 且 $\alpha > \beta$, 则 $\tan \alpha > \tan \beta$。能说明 $p$ 为假命题的一组 $\alpha, \beta$ 的值为 $\alpha =$______, $\beta =$______。

我国度量衡的发展有着悠久的历史, 战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”。已知 $9$ 枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为 $9$ 的数列 $\{a_n\}$, 该数列的前 $3$ 项成等差数列, 后 $7$ 项成等比数列, 且 $a_1 = 1$, $a_5 = 12$, $a_9 = 192$, 则 $a_7 =$______; 数列 $\{a_n\}$ 所有项的和为______。

如图, 在三棱锥 $P-ABC$ 中, $PA \perp$ 平面 $ABC$, $PA = AB = BC = 1$, $PC = \sqrt{3}$。

(1) 求证: $BC \perp$ 平面 $PAB$；

(2) 求二面角 $A-PC-B$ 的大小。

设函数 $f(x) = \sin \omega x \cos \phi + \cos \omega x \sin \phi$ ($\omega > 0, |\phi| < \frac{\pi}{2}$)。

(1) 若 $f(0) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, 求 $\phi$ 的值；

(2) 已知 $f(x)$ 在区间 $[-\frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}]$ 上单调递增, $f(\frac{2\pi}{3}) = 1$, 再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知, 使函数 $f(x)$ 存在, 求 $\omega, \phi$ 的值。

条件①：$f(\frac{\pi}{3}) = 1$；

条件②：$f(-\frac{\pi}{3}) = -1$；

条件③：$f(x)$ 在区间 $[-\frac{\pi}{2}, -\frac{\pi}{3}]$ 上单调递减。