坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素. 安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美. 如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形. 若 $AB=25\text{m}$，$BC=AD=10\text{m}$，且等腰梯形所在的平面，等腰三角形所在的平面与平面 $ABCD$ 的夹角的正切值均为 $\dfrac{\sqrt{14}}{5}$，则该五面体的所有棱长之和为（ ）

我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的，用来测量物体质量的“环权”. 已知 9 枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为 9 的数列 $\{a_n\}$，该数列的前 3 项成等差数列，后 7 项成等比数列，且 $a_1=1$，$a_5=12$，$a_9=192$，则 $a_7=\underline{\hspace{2em}}$；数列 $\{a_n\}$ 所有项的和为 $\underline{\hspace{2em}}$.

如图，在三棱锥 $P-ABC$ 中，$PA\perp \text{平面 }ABC$，$PA=AB=BC=1$，$PC=\sqrt{3}$.

(1) 求证：$BC\perp \text{平面 }PAB$； (2) 求二面角 $A-PC-B$ 的大小.

设函数 $f(x)=\sin \omega x\cos \varphi+\cos \omega x\sin \varphi$（$\omega>0$，$|\varphi|<\frac{\pi}{2}$）.

(1) 若 $f(0)=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，求 $\varphi$ 的值； (2) 已知 $f(x)$ 在区间 $\left[-\dfrac{\pi}{3},\dfrac{2\pi}{3}\right]$ 上单调递增，$f\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)=1$，再从条件 $\circled{1}$，条件 $\circled{2}$，条件 $\circled{3}$ 这三个条件中选择一个作为已知，使函数 $f(x)$ 存在，求 $\omega$，$\varphi$ 的值.

条件 $\circled{1}$：$f\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\sqrt{2}$；

条件 $\circled{2}$：$f\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)=-1$；

条件 $\circled{3}$：$f(x)$ 在区间 $\left[-\dfrac{\pi}{2},-\dfrac{\pi}{3}\right]$ 上单调递减.

为研究某种农产品价格变化的规律，收集得到了该农产品连续 40 天的价格变化数据，如下表所示. 在描述价格变化时，用“+”表示“上涨”，即当天价格比前一天价格高；用“-”表示“下跌”，即当天价格比前一天价格低；用“0”表示“不变”，即当天价格与前一天价格相同. 用频率估计概率.

(1) 试估计该农产品价格“上涨”的概率； (2) 假设该农产品每天的价格变化是相互独立的. 在未来的日子里任取 4 天，试估计该农产品价格在这 4 天中 2 天“上涨”，1 天“下跌”，1 天“不变”的概率； (3) 假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格变化的影响. 判断第 41 天该农产品价格“上涨”“下跌”和“不变”的概率估计值哪个最大. （结论不要求证明）