已知函数 $f(x)$ 的定义域为 $D$, 则"$f(x)$ 的值域为 $\mathbb{R}$"是"对任意 $M \in \mathbb{R}$, 存在 $x_0 \in D$, 使得 $|f(x_0)| > M$"的 （ ）

设函数 $f(x) = \sin\omega x + \cos\omega x$ ($\omega > 0$), 若 $f(x + \pi) = f(x)$ 恒成立, 且 $f(x)$ 在 $\left[0, \frac{\pi}{4}\right]$ 上存在零点, 则 $\omega$ 的最小值为 （ ）

在一定条件下, 某人工智能大语言模型训练 $N$ 个单位的数据量所需要的时间 $T = k\log_2 N$ (单位: h), 其中 $k$ 为常数。在此条件下, 已知训练数据量 $N$ 从 $10^6$ 个单位增加到 $1.024 \times 10^9$ 个单位时, 训练时间增加 $20$ h; 当训练数据量 $N$ 从 $1.024 \times 10^9$ 个单位增加到 $4.096 \times 10^9$ 个单位时, 训练时间增加 （ ）

在 $\triangle ABC$ 中, $\cos A = -\frac{1}{3}$, $a\sin C = 4\sqrt{2}$。

(1) 求 $c$ 的值;

(2) 再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知, 使得 $\triangle ABC$ 存在, 求 $BC$ 边上的高。

条件①: $a = 6$; 条件②: $a\sin B = \frac{10\sqrt{2}}{3}$; 条件③: $\triangle ABC$ 的面积为 $10\sqrt{2}$。

某次考试中, 只有一道单项选择题考查了某个知识点, 甲、乙两校的高一年级学生都参加了这次考试。为了解学生对该知识点的掌握情况, 随机抽查了甲、乙两校高一年级各 $100$ 名学生该题的答题数据, 其中甲校学生选择正确的人数为 $80$, 乙校学生选择正确的人数为 $75$。假设学生之间答题相互独立。用频率估计概率。

(1) 估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率 $p$;

(2) 从甲、乙两校高一年级学生中各随机抽取 $1$ 名。设 $X$ 为这 $2$ 名学生中该题选择正确的人数, 估计 $X = 1$ 的概率及 $X$ 的数学期望;

(3) 假设: 如果没有掌握该知识点, 学生就从题目给出的四个选项中随机选择一个作为答案; 如果掌握该知识点, 甲校学生选择正确的概率为 $100\%$, 乙校学生选择正确的概率为 $85\%$。设甲、乙两校高一年级学生掌握该知识点的概率估计值分别为 $p_1, p_2$, 判断 $p_1$ 与 $p_2$ 的大小。(结论不要求证明)