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135分函数与初等函数★★★☆☆
若函数 f(x)=2x+22−x−mf\left( x \right)=2^x+2^{2-x}-m 有两个零点，则 mm 的取值范围是______.

2026 · 全国 · 二卷 · 第 13 题 · 填空题

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13计数原理与组合数学★★★☆☆
(13+x)10\left( \dfrac{1}{3}+x \right)^{10} 的展开式中，各项系数中的最大值是______.

2024 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14立体几何初步★★★☆☆
已知圆台甲，乙的上底面半径均为 r1r_1，下底面半径均为 r2r_2，母线长分别为 2(r2−r1)2\left( r_2-r_1 \right) 和 3(r2−r1)3\left( r_2-r_1 \right)，则圆台甲与乙的体积之比 V甲V乙=\dfrac{V_{\text{甲}}}{V_{\text{乙}}}=______.

2024 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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16三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，∠BAC=60∘\angle BAC=60^\circ，AB=2AB=2，BC=6BC=\sqrt{6}，∠BAC\angle BAC 的角平分线交 BCBC 于 DD，则 AD=AD=______.

2023 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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15计数原理与组合数学★★★☆☆
从正方体的 88 个顶点中任选 44 个，则这 44 个点在同一个平面的概率为______.

2022 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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15解析几何★★★☆☆
记双曲线 C:x2a2−y2b2=1C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>0a>0，b>0b>0）的离心率为 ee，写出满足条件“直线 y=2xy=2x 与 CC 无公共点”的 ee 的一个值______.

2022 · 全国 · 甲卷 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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15解析几何★★★☆☆
已知 F1F_1，F2F_2 为椭圆 C:x216+y24=1C:\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{4}=1 的两个焦点，PP，QQ 为 CC 上关于坐标原点对称的两点，且 PQ=F1F2PQ=F_1F_2，则四边形 PF1QF2PF_1QF_2 的面积为______.

2021 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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16解析几何★★★☆☆
已知 F1F_1，F2F_2 为椭圆 C:x216+y24=1C:\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1 的两个焦点，PP，QQ 为 CC 上关于坐标原点对称的两点，且 ∣PQ∣=∣F1F2∣|PQ|=|F_1F_2|，则四边形 PF1QF2PF_1QF_2 的面积为______.

2021 · 全国 · 甲卷 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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15立体几何初步★★★☆☆
已知圆锥的底面半径为 11，母线长为 33，则该圆锥内半径最大的球的体积为______ π\pi.

2020 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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16函数与初等函数★★★☆☆
关于函数 f(x)=sin⁡x+1sin⁡xf(x)=\sin x+\dfrac{1}{\sin x} 有如下四个命题：
① f(x)f(x) 的图象关于 yy 轴对称； ② f(x)f(x) 的图象关于原点对称； ③ f(x)f(x) 的图象关于直线 x=π2x=\dfrac{\pi}{2} 对称； ④ f(x)f(x) 的最小值为 22.
其中所有真命题的序号是______.

2020 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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16立体几何初步★★★☆☆
已知圆锥的底面半径为 11，母线长为 33，则该圆锥内半径最大的球的体积为______.

2020 · 全国 · 三卷 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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15解析几何★★★☆☆
设 F1F_1，F2F_2 为椭圆 C:x236+y220=1C:\dfrac{x^2}{36}+\dfrac{y^2}{20}=1 的两个焦点，MM 为 CC 上一点且在第一象限. 若 △MF1F2\triangle MF_1F_2 为等腰三角形，则 MM 的坐标为______.

2019 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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16立体几何初步★★★☆☆
学生到工厂劳动实践，利用 3D3\mathrm{D} 打印技术制作模型. 如图，该模型为长方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 挖去四棱锥 O−EFGHO-EFGH 后所得的几何体，其中 OO 为长方体的中心，EE，FF，GG，HH 分别为所在棱的中点，AB=BC=6 cmAB=BC=6\text{ cm}，AA1=4 cmAA_1=4\text{ cm}. 3D3\mathrm{D} 打印所用原料密度为 0.9 g/cm30.9\text{ g/cm}^3. 不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为______g\mathrm{g}.

2019 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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15解析几何★★★☆☆
设 F1F_1，F2F_2 为椭圆 C:x236+y220=1C:\dfrac{x^2}{36}+\dfrac{y^2}{20}=1 的两个焦点，MM 为 CC 上一点且在第一象限. 若 △MF1F2\triangle MF_1F_2 为等腰三角形，则 MM 的坐标为______.

2019 · 全国 · 三卷 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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16立体几何初步★★★☆☆
学生到工厂劳动实践，利用 3D3D 打印技术制作模型. 如图，该模型为长方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 挖去四棱锥 O−EFGHO-EFGH 后所得的几何体，其中 OO 为长方体的中心，EE，FF，GG，HH 分别为所在棱的中点，AB=BC=6 cmAB=BC=6\mathrm{~cm}，AA1=4 cmAA_1=4\mathrm{~cm}. 3D3D 打印所用原料密度为 0.9 g/cm30.9\mathrm{~g/cm^3}. 不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为______g\mathrm{g}.

2019 · 全国 · 三卷 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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16函数与初等函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=ln⁡ ⁣(1+x2−x)+1f(x)=\ln\!\left(\sqrt{1+x^2}-x\right)+1，f(a)=4f(a)=4，则 f(−a)=f(-a)=______.

2018 · 全国 · 三卷 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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13立体几何初步★★★☆☆
已知三棱锥的四个面都是腰长为 22 的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是______.
\begin{solution} 由正视图及四个面都是腰长为 22 的等腰三角形可知，底面为底边长为 232\sqrt3、底边上的高为 11 的等腰三角形，且棱锥的高为 11.其中正视图中半底长为 3\sqrt3、高为 11，满足 (3)2+12=22(\sqrt3)^2+1^2=2^2，与各面的腰长相符.因此底面积为
S底=12×23×1=3S_{\text{底}}=\frac12\times2\sqrt3\times1=\sqrt3
所以体积为
V=13S底h=13×3×1=33V=\frac13S_{\text{底}}h=\frac13\times\sqrt3\times1=\frac{\sqrt3}{3}
\end{solution}

2016 · 四川 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14立体几何初步★★★☆☆
在三棱柱 ABC−A1B1C1ABC - A_{1}B_{1}C_{1} 中，∠BAC=90∘\angle BAC = 90^{\circ}，其正视图和侧视图都是边长为 11 的正方形，俯视图是直角边长为 11 的等腰直角三角形. 设点 MM，NN，PP 分别是棱 ABAB，BCBC，B1C1B_{1}C_{1} 的中点，则三棱锥 P−A1MNP - A_{1}MN 的体积是______.

2015 · 四川 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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14平面向量★★★☆☆
平面向量 a=(1,2)\boldsymbol{a} = (1, 2)，b=(4,2)\boldsymbol{b} = (4, 2)，c=ma+b\boldsymbol{c} = m\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}（m∈Rm \in \mathbf{R}），且 c\boldsymbol{c} 与 a\boldsymbol{a} 的夹角等于 c\boldsymbol{c} 与 b\boldsymbol{b} 的夹角，则 m=m =______. \begin{answer} 2 \end{answer}
\begin{solution} 由 c=ma+b\boldsymbol{c}=m\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}，得 c=(m+4,2m+2)\boldsymbol{c}=(m+4,2m+2). 因为 ∣a∣=5|\boldsymbol{a}|=\sqrt5，∣b∣=25|\boldsymbol{b}|=2\sqrt5，且两夹角相等，所以
c⋅a∣c∣ ∣a∣=c⋅b∣c∣ ∣b∣\frac{\boldsymbol{c}\cdot\boldsymbol{a}}{|\boldsymbol{c}|\,|\boldsymbol{a}|}=\frac{\boldsymbol{c}\cdot\boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{c}|\,|\boldsymbol{b}|}
即 2(c⋅a)=c⋅b2(\boldsymbol{c}\cdot\boldsymbol{a})=\boldsymbol{c}\cdot\boldsymbol{b}. 计算得 c⋅a=5m+8\boldsymbol{c}\cdot\boldsymbol{a}=5m+8，qquadc⋅b=8m+20qquad \boldsymbol{c}\cdot\boldsymbol{b}=8m+20. 故 2(5m+8)=8m+202(5m+8)=8m+20，解得 m=2m=2. \end{solution}

2014 · 四川 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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15解析几何★★★☆☆
在平面直角坐标系内，到点 A(1,2)A(1,2)，B(1,5)B(1,5)，C(3,6)C(3,6)，D(7,−1)D(7,-1) 的距离之和最小的点的坐标是______.

2013 · 四川 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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14解析几何★★★☆☆
双曲线 x264−y236=1\frac{x^2}{64} - \frac{y^2}{36} = 1 上一点 PP 到双曲线右焦点的距离是 4，那么点 PP 到左准线的距离是______.

2011 · 四川 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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15立体几何初步★★★☆☆
如图，半径为 RR 的球 OO 中有一内接圆柱. 当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是______.

2011 · 四川 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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16函数与初等函数★★★☆☆
函数 f(x)f(x) 的定义域为 AA. 若 x1x_{1}，x2∈Ax_{2} \in A 且 f(x1)=f(x2)f(x_{1}) = f(x_{2}) 时总有 x1=x2x_{1} = x_{2}，则称 f(x)f(x) 为单函数. 例如，函数 f(x)=2x+1f(x) = 2x + 1 （x∈Rx \in \mathbf{R}） 是单函数. 下列命题：
① 函数 f(x)=x2f(x)=x^{2}（x∈Rx\in\mathbf{R}）是单函数； ② 若 f(x)f(x) 为单函数，x1x_{1}，x2∈Ax_{2} \in A 且 x1≠x2x_{1} \neq x_{2}，则 f(x1)≠f(x2)f(x_{1}) \neq f(x_{2})； ③ 若 f:A→Bf: A \to B 为单函数，则对于任意 b∈Bb \in B，它至多有一个原象； ④ 函数 f(x)f(x) 在某区间上具有单调性，
则 f(x)f(x) 一定是单函数. 其中的真命题是______.（写出所有真命题的编号）

2011 · 四川 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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14解析几何★★★☆☆
双曲线 x264−y236=1\frac{x^2}{64} - \frac{y^2}{36} = 1 上一点 PP 到双曲线右焦点的距离是 44，那么点 PP 到左准线的距离是______.

2011 · 四川 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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15立体几何初步★★★☆☆
如图，二面角 α−l−β\alpha - l - \beta 的大小是 60∘60^{\circ}，AB⊂αAB \subset \alpha，B∈lB \in l，ABAB 与 ll 所成的角为 30∘30^{\circ}，则 ABAB 与平面 β\beta 所成角的正弦值是______.

2010 · 四川 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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