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135分三角函数★★★☆☆
已知 f(x)=2sin⁡(ax+θ)f(x)=2\sin(ax+\theta)（a∈Za\in\mathbf{Z}，0≤θ<2π0\le \theta<2\pi）是偶函数，f(x)f(x) 在区间 (0,π2)\left( 0,\frac{\pi}{2} \right) 单调递增，则 θ=‾\theta=\underline{\hspace{2em}}，f(2π3)=‾f\left( \frac{2\pi}{3} \right)=\underline{\hspace{2em}}．

2026 · 全国 · 一卷 · 第 13 题 · 填空题

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145分概率与统计★★★☆☆
有5个相同的球，分别标有数字 11，22，33，44，55，从中有放回地随机取3次，每次取1个球，记 XX 为这5个球中至少被取出1次的球的个数，则数学期望 E(X)=E(X) =______.

2025 · 全国 · 一卷 · 第 14 题 · 填空题

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125分解析几何★★★☆☆
设双曲线 x2a2−y2b2=1\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a>0a>0，b>0b>0） 的左右焦点分别为 F1F_1，F2F_2. 过 F2F_2 作与 yy 轴平行的直线交该双曲线于 AA，BB 两点. 若 ∣AF1∣=13|AF_1|=13，∣AB∣=10|AB|=10， 则该双曲线的离心率为（ ）.

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 12 题 · 填空题

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135分导数及其应用★★★☆☆
若曲线 y=ex+xy=\mathrm{e}^x+x 与曲线 y=ln⁡(x+1)+ay=\ln(x+1)+a 在点 (0,1)(0,1) 处有切线重合，则 a=a=______.

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 13 题 · 填空题

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155分解析几何★★★☆☆
已知直线 x−my+1=0x-my+1=0 与圆 C:(x−1)2+y2=4C:(x-1)^2+y^2=4 交于 AA，BB 两点，写出满足“△ABC\triangle ABC 的面积为 85\frac85”的 mm 的一个值______.

2023 · 全国 · 新高考二卷 · 第 15 题 · 填空题

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165分三角函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=sin⁡(ωx+φ)f(x)=\sin(\omega x+\varphi)，如图，AA，BB 是直线 y=12y=\frac12 与曲线 y=f(x)y=f(x) 的两个交点，若 ∣AB∣=π6|AB|=\frac{\pi}{6}，则 f(π)=‾f(\pi)=\underline{\hspace{2em}}.

2023 · 全国 · 新高考二卷 · 第 16 题 · 填空题

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15三角函数★★★☆☆
记函数 f(x)=cos⁡(ωx+φ)f(x)=\cos \left( \omega x+\varphi \right)（ω>0\omega>0，0<φ<π0<\varphi<\pi）的最小正周期为 TT，若 f(T)=32f(T)=\frac{\sqrt{3}}{2}，x=π9x=\frac{\pi}{9} 为 f(x)f(x) 的零点，则 ω\omega 的最小值为______.

2022 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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15解析几何★★★☆☆
过四点 (0,0)(0,0)，(4,0)(4,0)，(−1,1)(-1,1)，(4,2)(4,2) 中任意三点可得的一个圆的方程为 ‾\underline{\hspace{2em}}.

2022 · 全国 · 乙卷 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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16函数与初等函数★★★☆☆
若 f(x)=ln⁡∣a+11−x∣+bf(x)=\ln\left|a+\dfrac{1}{1-x}\right|+b 是奇函数，则 a=‾a=\underline{\hspace{2em}}，b=‾b=\underline{\hspace{2em}}.

2022 · 全国 · 乙卷 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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15三角函数★★★☆☆
记 △ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc，面积为 3\sqrt3，B=60∘B=60^\circ，a2+c2=3aca^2+c^2=3ac，则 b=‾b=\underline{\hspace{2em}}.

2021 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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15三角函数★★★☆☆
记 △ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc，面积为 3\sqrt3，B=60∘B=60^\circ，a2+c2=3aca^2+c^2=3ac，则 b=b=______.

2021 · 全国 · 乙卷 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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15概率与统计★★★☆☆
甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）. 根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”. 设甲队主场取胜的概率为 0.60.6，客场取胜的概率为 0.50.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以 4:14:1 获胜的概率是______.
\begin{answer} 0.180.18 \end{answer}

2019 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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15三角函数★★★☆☆
函数 f(x)=sin⁡(2x+3π2)−3cos⁡xf(x)=\sin \left( 2x+\dfrac{3\pi}{2} \right)-3\cos x 的最小值为______.

2019 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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14数列★★★☆☆
记 SnS_n 为数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和. 若 Sn=2an+1S_n=2a_n+1，则 S6=S_6=______.

2018 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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16三角函数★★★☆☆
△ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc. 已知 bsin⁡C+csin⁡B=4asin⁡Bsin⁡Cb\sin C+c\sin B=4a\sin B\sin C，b2+c2−a2=8b^2+c^2-a^2=8，则 △ABC\triangle ABC 的面积为______.

2018 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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12解析几何★★★☆☆
在极坐标系中，圆 ρ=8sin⁡θ\rho = 8\sin \theta 上的点到直线 θ=π3\theta = \frac{\pi}{3}（ρ∈R\rho \in \mathbf{R}）距离的最大值是______.
\begin{solution} 由极坐标关系 x=ρcos⁡θx=\rho\cos\theta，y=ρsin⁡θy=\rho\sin\theta，圆的方程化为 ρ2=8ρsin⁡θ\rho^2=8\rho\sin\theta，即 x2+y2=8yx^2+y^2=8y，亦即
x2+(y−4)2=16x^2+(y-4)^2=16
所以圆心为 O1=(0,4)O_1=(0,4)，半径为 44. 由于 ρ∈R\rho\in\mathbf{R}，直线 θ=π3\theta=\frac\pi3 是过原点的整条直线，其方程为 y=3xy=\sqrt3x. 圆心到该直线的距离为
d=∣3⋅0−4∣3+1=2d=\frac{|\sqrt3\cdot0-4|}{\sqrt{3+1}}=2
圆上点到该直线的最大距离等于圆心到直线的距离加半径，故最大值为 2+4=62+4=6. \end{solution}

2015 · 安徽 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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14数列★★★☆☆
已知数列 {an}\{a_{n}\} 是递增的等比数列，a1+a4=9a_{1} + a_{4} = 9，a2a3=8a_{2}a_{3} = 8，则数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和等于______.
\begin{solution} 设首项为 a1a_1，公比为 qq. 由 a2a3=a12q3=8>0a_2a_3=a_1^2q^3=8>0 知 q>0q>0. 再由 a1(1+q3)=9a_1(1+q^3)=9 知 a1>0a_1>0，数列递增从而 q>1q>1.
令 r=q3r=q^3，则 a12r=8a_1^2r=8，a1(1+r)=9a_1(1+r)=9. 消去 a1a_1 得 81r(1+r)2=8\frac{81r}{(1+r)^2}=8，8r2−65r+8=08r^2-65r+8=0， 所以 r=8r=8 或 r=18r=\frac18. 因为 r=q3>1r=q^3>1，故 r=8r=8，从而 q=2q=2，再由 a1(1+8)=9a_1(1+8)=9 得 a1=1a_1=1.
因此前 nn 项和为
Sn=a1(qn−1)q−1=2n−1S_n=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}=2^n-1
\end{solution}

2015 · 安徽 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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15平面向量★★★☆☆
△ABC\triangle ABC 是边长为 22 的等边三角形，已知向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 满足 AB→=2a\overrightarrow{AB} = 2\boldsymbol{a}，AC→=2a+b\overrightarrow{AC} = 2\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}. 则下列结论中正确的是______. （写出所有正确结论的序号）
① a\boldsymbol{a} 为单位向量； ② b\boldsymbol{b} 为单位向量； ③ a⊥b\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{b}； ④ b∥BC→\boldsymbol{b}\parallel\overrightarrow{BC}； ⑤ (4a+b)⊥BC→\left(4\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}\right)\perp\overrightarrow{BC}.
\begin{answer} \circled1\circled4\circled5\circled{1}\circled{4}\circled{5} \end{answer}
\begin{solution} 因为 ABCABC 是边长为 22 的等边三角形，所以 ∣AB→∣=∣AC→∣=∣BC→∣=2|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{AC}|=|\overrightarrow{BC}|=2. 由 AB→=2a\overrightarrow{AB}=2\boldsymbol{a}，得 ∣a∣=1|\boldsymbol{a}|=1，结论\circled1\circled{1}正确.
又
BC→=AC→−AB→=b\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}=\boldsymbol{b}
所以 ∣b∣=2|\boldsymbol{b}|=2，结论\circled2\circled{2}错误，且 b∥BC→\boldsymbol{b}\parallel\overrightarrow{BC}，结论\circled4\circled{4}正确.
由 ∣2a+b∣=∣AC→∣=2|2\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|=|\overrightarrow{AC}|=2，平方得
4∣a∣2+4a⋅b+∣b∣2=44|\boldsymbol{a}|^2+4\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}+|\boldsymbol{b}|^2=4
代入 ∣a∣=1|\boldsymbol{a}|=1、∣b∣=2|\boldsymbol{b}|=2，得到 a⋅b=−1≠0\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=-1\ne0，所以结论\circled3\circled{3}错误. 最后
(4a+b)⋅BC→=(4a+b)⋅b=4(−1)+22=0\left(4\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}\right)\cdot\overrightarrow{BC} =\left(4\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}\right)\cdot\boldsymbol{b} =4(-1)+2^2=0
故结论\circled5\circled{5}正确. 所有正确结论的序号为 \circled1\circled{1}、\circled4\circled{4}、\circled5\circled{5}. \end{solution}

2015 · 安徽 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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11三角函数★★★☆☆
若将函数 f(x)=sin⁡(2x+π4)f(x) = \sin \left(2x + \frac{\pi}{4}\right) 的图象向右平移 φ\varphi 个单位，所得图象关于 yy 轴对称，则 φ\varphi 的最小正值是______.
\begin{solution} 平移后的函数为 g(x)=sin⁡(2(x−φ)+π4)=sin⁡(2x+δ)g(x)=\sin\left(2(x-\varphi)+\dfrac{\pi}{4}\right)=\sin(2x+\delta)，其中 δ=π4−2φ\delta=\dfrac{\pi}{4}-2\varphi. 要使图象关于 yy 轴对称，需使 gg 为偶函数. 展开得 g(x)=sin⁡2xcos⁡δ+cos⁡2xsin⁡δg(x)=\sin2x\cos\delta+\cos2x\sin\delta，比较 g(x)g(x) 与 g(−x)g(-x) 可知必须且只需 cos⁡δ=0\cos\delta=0. 因此 δ=π2+kπ\delta=\dfrac{\pi}{2}+k\pi，即 φ=−π8−kπ2\varphi=-\dfrac{\pi}{8}-\dfrac{k\pi}{2}. 取最小正值时 k=−1k=-1，得到 φ=3π8\varphi=\dfrac{3\pi}{8}. \end{solution}

2014 · 安徽 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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13计数原理与组合数学★★★☆☆
设 a≠0a \neq 0，nn 是大于 1 的自然数，(1+xa)n\left(1 + \frac{x}{a}\right)^n 的展开式为 a0+a1x+a2x2+⋯+anxna_0 + a_1x + a_2x^2 + \cdots + a_nx^n. 若点 Ai(i,ai)A_i(i, a_i)（i=0i = 0，11，22）的位置如图所示，则 a=‾a =\underline{\hspace{2em}}.
\begin{solution} 二项式展开式中 ai=Cni1aia_i=\mathrm C_n^i\dfrac{1}{a^i}. 由图中 A0=(0,1)A_0=(0,1)、A1=(1,3)A_1=(1,3)、A2=(2,4)A_2=(2,4)，得 a0=1a_0=1，a1=3a_1=3，a2=4a_2=4. 因而 na=3\dfrac na=3，Cn2a2=4\dfrac{\mathrm C_n^2}{a^2}=4. 由 n=3an=3a 代入第二式，得 n(n−1)2a2=4\dfrac{n(n-1)}{2a^2}=4，即 3a(3a−1)2a2=4\dfrac{3a(3a-1)}{2a^2}=4. 因 a≠0a\neq0，化简得 a2−3a=0a^2-3a=0，所以 a=3a=3. \end{solution}

2014 · 安徽 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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12数列★★★☆☆
如图，在等腰直角三角形 ABCABC 中，斜边 BC=22BC = 2\sqrt{2}，过点 AA 作 BCBC 的垂线，垂足为 A1A_1；过点 A1A_1 作 ACAC 的垂线，垂足为 A2A_2；过点 A2A_2 作 A1CA_1C 的垂线，垂足为 A3A_3；⋯\cdots，依此类推，设 BA=a1BA = a_1，AA1=a2AA_1 = a_2，A1A2=a3A_1A_2 = a_3，⋯\cdots，A5A6=a7A_5A_6 = a_7，则 a7=a_7 =______.
\begin{answer} 14\frac{1}{4} \end{answer}

2014 · 安徽 · 文 · 第 12 题 · 填空题

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15导数及其应用★★★☆☆
若直线 ll 与曲线 CC 满足下列两个条件：
① 直线 ll 在点 P(x0,y0)P(x_0, y_0) 处与曲线 CC 相切； ② 曲线 CC 在点 PP 附近位于直线 ll 的两侧，
则称直线 ll 在点 PP 处“切过”曲线 CC.
下列命题正确的是______.（写出所有正确命题的编号）
① 直线 l:y=0l: y = 0 在点 P(0,0)P(0,0) 处“切过”曲线 C:y=x3C: y = x^3. ② 直线 l:x=−1l: x = -1 在点 P(−1,0)P(-1,0) 处“切过”曲线 C:y=(x+1)2C: y = (x + 1)^2. ③ 直线 l:y=xl: y = x 在点 P(0,0)P(0,0) 处“切过”曲线 C:y=sin⁡xC: y = \sin x. ④ 直线 l:y=xl: y = x 在点 P(0,0)P(0,0) 处“切过”曲线 C:y=tan⁡xC: y = \tan x. ⑤ 直线 l:y=x−1l: y = x - 1 在点 P(1,0)P(1,0) 处“切过”曲线 C:y=ln⁡xC: y = \ln x.
\begin{answer} \circled1\circled3\circled4\circled{1}\circled{3}\circled{4} \end{answer}

2014 · 安徽 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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13解析几何★★★☆☆
已知直线 y=ay = a 交抛物线 y=x2y = x^2 于 AA，BB 两点，若该抛物线上存在点 CC，使得 ∠ACB\angle ACB 为直角，则 aa 的取值范围为______.

2013 · 安徽 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14数列★★★☆☆
如图，互不相同的点 A1A_{1}，A2A_{2}，⋯\cdots，AnA_{n}，⋯\cdots 和 B1B_{1}，B2B_{2}，⋯\cdots，BnB_{n}，⋯\cdots 分别在角 OO 的两条边上. 所有 AnBnA_{n}B_{n} 相互平行，且所有梯形 AnBnBn+1An+1A_{n}B_{n}B_{n+1}A_{n+1} 的面积均相等. 设 OAn=anOA_{n} = a_{n}. 若 a1=1a_{1} = 1，a2=2a_{2} = 2，则数列 {an}\{a_{n}\} 的通项公式是______.

2013 · 安徽 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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11不等式★★★☆☆
若 xx，yy 满足约束条件
{x⩾0,x+2y⩾3,2x+y⩽3,\begin{cases} x \geqslant 0,\\ x + 2y \geqslant 3,\\ 2x + y \leqslant 3, \end{cases}
则 x−yx - y 的取值范围是______.

2012 · 安徽 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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