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1513分立体几何初步★★★☆☆
如图，在直三棱柱 ABC−A1B1C1ABC-A_1B_1C_1 中，∠ACB=90∘\angle ACB=90^\circ，AC=BCAC=BC，DD，EE 分别为 ABAB，AC1AC_1 的中点.
(1) 证明：DE//平面BCC1B1DE // \text{平面} BCC_1B_1； (2) 设 CC1=2CC_1=2，直线 DEDE 与平面 ACC1A1ACC_1A_1 所成的角为 45∘45^\circ，求直线 DEDE 到平面 BCC1B1BCC_1B_1 的距离．

2026 · 全国 · 一卷 · 第 15 题 · 解答题

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1715分概率与统计★★★☆☆
设整数 N≥2N\ge 2. 某同学用一个球进行投篮练习，至多投篮 NN 次，当且仅当投中 11 次时或 NN 次均未投中时，停止练习. 设该同学每次投中的概率为 pp（0<p<10<p<1），各次投中与否相互独立. 记 XX 为停止练习时该同学的投篮次数.
(1) 当 N=4N=4，p=13p=\dfrac{1}{3} 时，求 XX 的分布列； (2) 设 kk，mm 均为自然数.
(i) 当 k≤N−1k\le N-1 时，求 P(X>k)P(X>k)； (ii) 当 k+m≤N−1k+m\le N-1 时，证明：P(X>k+m∣X>k)=P(X>m)P(X>k+m\mid X>k)=P(X>m)．

2026 · 全国 · 一卷 · 第 17 题 · 解答题

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1513分概率与统计★★★☆☆
为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了1000人，得到如下列联表：
\multicolumn1∣c∣组别\multicolumn3c∣超声波检查结果\cline2−4正常不正常合计患该疾病20180200未患该疾病78020800合计8002001000\begin{array}{c} \hline \multicolumn{1}{|c|}{组别} & \multicolumn{3}{c|}{超声波检查结果} \\ \cline{2-4} & 正常 & 不正常 & 合计 \\ \hline 患该疾病 & 20 & 180 & 200 \\ \hline 未患该疾病 & 780 & 20 & 800 \\ \hline 合计 & 800 & 200 & 1000 \\ \hline \end{array}
(1) 记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为 pp，求 pp 的估计值； (2) 根据小概率值 α=0.001\alpha = 0.001 的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关.
附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)\chi^2 = \frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}

2025 · 全国 · 一卷 · 第 15 题 · 解答题

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1513分三角函数★★★☆☆
记 △ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 对边分别为 aa，bb，cc. 已知 sin⁡C=2cos⁡B\sin C =2\cos B，a2+b2−c2=2 aba^2+b^2-c^2=\sqrt2\,ab.
(1) 求 BB； (2) 若 △ABC\triangle ABC 的面积为 3+33+\sqrt3，求 cc.

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 15 题 · 解答题

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1715分三角函数★★★☆☆
已知在 △ABC\triangle ABC 中，A+B=3CA+B=3C，2sin⁡(A−C)=sin⁡B2\sin(A-C)=\sin B.
(1) 求 sin⁡A\sin A； (2) 设 AB=5AB=5，求 ABAB 边上的高.

2023 · 全国 · 新高考一卷 · 第 17 题 · 解答题

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1715分数列★★★☆☆
记 SnS_n 为数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和，已知 a1=1a_1=1，数列 {Snan}\left\{\frac{S_n}{a_n}\right\} 是公差为 13\frac13 的等差数列.
(1) 求 {an}\{a_n\} 的通项公式； (2) 证明：1a1+1a2+⋯+1an<2\frac1{a_1}+\frac1{a_2}+\cdots+\frac1{a_n}<2.

2022 · 全国 · 新高考一卷 · 第 17 题 · 解答题

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1917分立体几何初步★★★☆☆
如图，直三棱柱 ABC−A1B1C1ABC-A_1B_1C_1 的体积为 44，△A1BC\triangle A_1BC 的面积为 222\sqrt2.
(1) 求 AA 到平面 A1BCA_1BC 的距离； (2) 设 DD 为 A1CA_1C 的中点，AA1=ABAA_1=AB，平面 A1BC⊥A_1BC\perp 平面 ABB1A1ABB_1A_1，求二面角 A−BD−CA-BD-C 的正弦值.

2022 · 全国 · 新高考一卷 · 第 19 题 · 解答题

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2015分概率与统计★★★☆☆
一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了 100100 例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了 100100 人（称为对照组），得到如下数据：
(1) 能否有 99%99\% 的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？ (2) 从该地的人群中任选一人，AA 表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，BB 表示事件“选到的人患有该疾病”. P(B∣A)P(B‾∣A)\frac{P(B\mid A)}{P(\overline B\mid A)} 与 P(B∣A‾)P(B‾∣A‾)\frac{P(B\mid \overline A)}{P(\overline B\mid \overline A)} 的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为 RR.
(i) 证明：R=P(B∣A)P(B‾∣A)÷P(B∣A‾)P(B‾∣A‾)=P(A∣B)P(A‾∣B)⋅P(A‾∣B‾)P(A∣B‾);R=\frac{P(B\mid A)}{P(\overline B\mid A)}\div \frac{P(B\mid \overline A)}{P(\overline B\mid \overline A)}=\frac{P(A\mid B)}{P(\overline A\mid B)}\cdot \frac{P(\overline A\mid \overline B)}{P(A\mid \overline B)}; (ii) 利用该调查数据，给出 P(A∣B)P(A\mid B)，P(A∣B‾)P(A\mid \overline B) 的估计值，并利用（1）的结果给出 RR 的估计值.
附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)K^2=\frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}，

2022 · 全国 · 新高考一卷 · 第 20 题 · 解答题

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1715分数列★★★☆☆
已知数列 {an}\{a_n\} 满足 a1=1a_1=1，且
an+1={an+1,n为奇数,an+2,n为偶数.a_{n+1}=\begin{cases} a_n+1, & n\text{为奇数},\\ a_n+2, & n\text{为偶数}. \end{cases}
(1) 记 bn=a2nb_n=a_{2n}，写出 b1b_1，b2b_2，并求数列 {bn}\{b_n\} 的通项公式； (2) 求 {an}\{a_n\} 的前 2020 项和.

2021 · 全国 · 新高考一卷 · 第 17 题 · 解答题

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1817分数列★★★☆☆
已知公比大于 1 的等比数列 {an}\{a_n\} 满足 a2+a4=20a_2+a_4=20，a3=8a_3=8.
(1) 求 {an}\{a_n\} 的通项公式； (2) 记 bmb_m 为 {an}\{a_n\} 在区间 (0,m](0,m]（m∈N∗m\in\mathbf{N}^*）中的项的个数，求数列 {bm}\{b_m\} 的前 100 项和 S100S_{100}.

2020 · 全国 · 新高考一卷 · 第 18 题 · 解答题

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1917分概率与统计★★★☆☆
为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了 100100 天空气中的 PM2.5\mathrm{PM}_{2.5} 和 SO2\mathrm{SO}_2 浓度（单位：μg/m3\mu\mathrm{g}/\mathrm{m}^3），得下表：
PM2.5\SO2\mathrm{PM}_{2.5}\backslash\mathrm{SO}_2[0,50][0,50](50,150](50,150](150,475](150,475]
(35,75](35,75]6812
(75,115](75,115]3710
(1) 估计事件“该市一天空气中 PM2.5\mathrm{PM}_{2.5} 浓度不超过 75，且 SO2\mathrm{SO}_2 浓度不超过 150”的概率； (2) 根据所给数据，完成下面的 2×22\times 2 列联表：
PM2.5\SO2\mathrm{PM}_{2.5}\backslash\mathrm{SO}_2[0,150][0,150](150,475](150,475]
(75,115](75,115]
(3) 根据（2）中的列联表，判断是否有 99% 的把握认为该市一天空气中 PM2.5\mathrm{PM}_{2.5} 浓度与 SO2\mathrm{SO}_2 浓度有关？
附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)K^2=\dfrac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}.
P(K2≥k)P(K^2\ge k)0.0500.0100.001

2020 · 全国 · 新高考一卷 · 第 19 题 · 解答题

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17三角函数★★★☆☆
△ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc. 设 (sin⁡B−sin⁡C)2=sin⁡2A−sin⁡Bsin⁡C(\sin B-\sin C)^2=\sin^2A-\sin B\sin C.
(1) 求 AA； (2) 若 2 a+b=2c\sqrt2\,a+b=2c，求 sin⁡C\sin C.

2019 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18立体几何初步★★★☆☆
如图，直四棱柱 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 的底面是菱形，AA1=4AA_1=4，AB=2AB=2，∠BAD=60∘\angle BAD=60^\circ. EE，MM，NN 分别是 BCBC，BB1BB_1，A1DA_1D 的中点.
(1) 证明：MN∥MN\parallel 平面 C1DEC_1DE； (2) 求二面角 A−MA1−NA-MA_1-N 的正弦值.

2019 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19解析几何★★★☆☆
已知抛物线 C:y2=3xC:y^2=3x 的焦点为 FF，斜率为 32\dfrac32 的直线 ll 与 CC 的交点为 AA，BB，与 xx 轴的交点为 PP.
(1) 若 ∣AF∣+∣BF∣=4|AF|+|BF|=4，求 ll 的方程； (2) 若 AP→=3PB→\overrightarrow{AP}=3\overrightarrow{PB}，求 ∣AB∣|AB|.

2019 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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22解析几何★★★☆☆
在直角坐标系 xOyxOy 中，曲线 CC 的参数方程为
{x=1−t21+t2,y=4t1+t2,\left\{\begin{aligned}x&=\dfrac{1-t^2}{1+t^2},\\y&=\dfrac{4t}{1+t^2},\end{aligned}\right.
（tt 为参数）. 以原点为极点，xx 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 ll 的极坐标方程为 2ρcos⁡θ+3 ρsin⁡θ+11=02\rho\cos\theta+\sqrt3\,\rho\sin\theta+11=0.
(1) 求 CC 的直角坐标方程与 ll 的直角坐标方程； (2) 求 CC 上的点到 ll 的最小距离.

2019 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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23不等式★★★☆☆
已知 aa，bb，cc 为正数，且满足 abc=1abc=1. 证明：
(1) 1a+1b+1c≤a2+b2+c2\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\le a^2+b^2+c^2； (2) (a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24(a+b)^3+(b+c)^3+(c+a)^3\ge24.

2019 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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18数列★★★☆☆
记 SnS_n 为等差数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和. 已知 S9=−a5S_9=-a_5.
(1) 若 a3=4a_3=4，求 {an}\{a_n\} 的通项公式； (2) 若 a1>0a_1>0，求使得 Sn≥anS_n\ge a_n 的 nn 的取值范围.

2019 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★☆☆
如图，直四棱柱 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 的底面是菱形，AA1=4AA_1=4，AB=2AB=2，∠BAD=60∘\angle BAD=60^\circ，EE，MM，NN 分别是 BCBC，BB1BB_1，A1DA_1D 的中点.
(1) 证明：MN∥MN\parallel 平面 C1DEC_1DE； (2) 求点 CC 到平面 C1DEC_1DE 的距离.

2019 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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23不等式★★★☆☆
已知 aa，bb，cc 为正数，且满足 abc=1abc=1. 证明：
(1) 1a+1b+1c≤a2+b2+c2\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\le a^2+b^2+c^2； (2) (a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24(a+b)^3+(b+c)^3+(c+a)^3\ge 24.

2019 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 23 题 · 解答题

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17三角函数★★★☆☆
在平面四边形 ABCDABCD 中，∠ADC=90∘\angle ADC=90^\circ，∠A=45∘\angle A=45^\circ，AB=2AB=2，BD=5BD=5.
(1) 求 cos⁡∠ADB\cos\angle ADB； (2) 若 DC=22DC=2\sqrt2，求 BCBC.

2018 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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23不等式★★★☆☆
已知 f(x)=∣x+1∣−∣ax−1∣f(x)=\lvert x+1\rvert-\lvert ax-1\rvert.
(1) 当 a=1a=1 时，求不等式 f(x)>1f(x)>1 的解集； (2) 若 x∈(0,1)x\in(0,1) 时不等式 f(x)>xf(x)>x 成立，求 aa 的取值范围.

2018 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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18立体几何初步★★★☆☆
如图，在平行四边形 ABCMABCM 中，AB=AC=3AB=AC=3，∠ACM=90∘\angle ACM=90^\circ，以 ACAC 为折痕将 △ACM\triangle ACM 折起，使点 MM 到达点 DD 的位置，且 AB⊥DAAB\perp DA.
(1) 证明：平面 ACD⊥ACD\perp 平面 ABCABC； (2) QQ 为线段 ADAD 上一点，PP 为线段 BCBC 上一点，且 BP=DQ=23DABP=DQ=\dfrac23DA，求三棱锥 Q−ABPQ-ABP 的体积.

2018 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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19概率与统计★★★☆☆
某家庭记录了未使用节水龙头 5050 天的日用水量数据（单位：m3\text{m}^3）和使用了节水龙头 5050 天的日用水量数据，得到频数分布表如下：
未使用节水龙头 5050 天的日用水量频数分布表
使用了节水龙头 5050 天的日用水量频数分布表
(1) 作出使用了节水龙头 5050 天的日用水量数据的频率分布直方图； (2) 估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于 0.35 m30.35\text{ m}^3 的概率； (3) 估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按 365365 天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）

2018 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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20解析几何★★★☆☆
设抛物线 C:y2=2xC:y^2=2x，点 A(2,0)A(2,0)，B(−2,0)B(-2,0)，过点 AA 的直线 ll 与 CC 交于 MM，NN 两点.
(1) 当 ll 与 xx 轴垂直时，求直线 BMBM 的方程； (2) 证明：∠ABM=∠ABN\angle ABM=\angle ABN.

2018 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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23不等式★★★☆☆
已知 f(x)=∣x+1∣−∣ax−1∣f(x)=|x+1|-|ax-1|.
(1) 当 a=1a=1 时，求不等式 f(x)>1f(x)>1 的解集； (2) 若 x∈(0,1)x\in(0,1) 时不等式 f(x)>xf(x)>x 成立，求 aa 的取值范围.

2018 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 23 题 · 解答题

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