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1513分概率与统计★★★☆☆
从某厂生产的某种电子产品中随机抽取了若干件进行试验，测试它们首次出现故障的时间（单位：天），由试验结果得到如下频率分布直方图：
(1) 估计这种电子产品首次出现故障的时间的第一四分位数及中位数（假设数据在组内均匀分布）； (2) 记 p^\hat{p} 为 11 件这种电子产品首次出现故障的时间小于 365365 天的概率的估计值.
(i) 求 p^\hat{p}； (ii) 该厂向某用户销售 100100 件这种电子产品，记 XX 为这 100100 件电子产品中首次出现故障的时间小于 365365 天的件数，假设 X∼B(100,p^)X\sim B\left( 100,\hat{p} \right)，求 E(X)E\left( X \right)，D(X)D\left( X \right).

2026 · 全国 · 二卷 · 第 15 题 · 解答题

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1513分三角函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=cos⁡(2x+φ)f(x)=\cos(2x+\varphi)（0≤φ<π0\le \varphi<\pi），且 f(0)=12f(0)=\frac12.
(1) 求 φ\varphi； (2) 设函数 g(x)=f(x)+f(x−π6)g(x)=f(x)+f\left(x-\frac{\pi}{6}\right)，求 g(x)g(x) 的值域和单调区间.

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1715分立体几何初步★★★☆☆
如图，在四边形 ABCDABCD 中，AB//CDAB//CD，∠DAB=90∘\angle DAB=90^\circ，FF 为 CDCD 的中点，点 EE 在 ABAB 上，EF//ADEF//AD，AB=3ADAB=3AD，CD=2ADCD=2AD.
将四边形 EFDAEFDA 沿 EFEF 翻折至四边形 EFD′A′EFD'A'，使得面 EFD′A′EFD'A' 与面 EFCBEFCB 所成的二面角为 60∘60^\circ.
(1) 证明：A′B//A'B// 平面 CD′FCD'F； (2) 求面 BCD′BCD' 与面 EFD′A′EFD'A' 所成的二面角的正弦值.

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1513分三角函数★★★☆☆
记 △ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc，已知 sin⁡A+3cos⁡A=2\sin A+\sqrt3\cos A=2.
(1) 求 AA； (2) 若 a=2a=2，2bsin⁡C=csin⁡2B\sqrt2 b\sin C=c\sin 2B，求 △ABC\triangle ABC 的周长.

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1615分导数及其应用★★★☆☆
已知函数 f(x)=ex−ax−a3f(x)=\mathrm{e}^x-ax-a^3.
(1) 当 a=1a=1 时，求曲线 y=f(x)y=f(x) 在点 (1,f(1))(1,f(1)) 处的切线方程； (2) 若 f(x)f(x) 有极小值，且极小值小于 0，求 aa 的取值范围.

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17数列★★★☆☆
设 SnS_n 为数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和，已知 a2=1a_2=1，2Sn=nan2S_n=na_n.
(1) 求 {an}\{a_n\} 的通项公式； (2) 求数列 {an+12n}\left\{ \frac{a_{n+1}}{2^n} \right\} 的前 nn 项和 TnT_n.

2023 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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19概率与统计★★★☆☆
一项试验旨在研究臭氧效应. 试验方案如下：选 40 只小白鼠，随机地将其中 20 只分配到试验组，另外 20 只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：gg）.
(1) 设 XX 表示指定的两只小白鼠中分配到对照组的只数，求 XX 的分布列和数学期望； (2) 试验结果如下：
对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为：
15.2， 18.8， 20.2， 21.3， 22.5， 23.2， 25.8， 26.5， 27.5， 30.1，
32.6， 34.3， 34.8， 35.6， 35.6， 35.8， 36.2， 37.3， 40.5， 43.2
试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为：
7.8， 9.2， 11.4， 12.4， 13.2， 15.5， 16.5， 18.0， 18.8， 19.2，
19.8， 20.2， 21.6， 22.8， 23.6， 23.9， 25.1， 28.2， 32.3， 36.5
(i) 求 40 只小鼠体重的增加量的中位数 mm，再分别统计两样本中小于 mm 与不小于 mm 的数据的个数，完成如下列联表； (ii) 根据（1）中的列联表，能否有 95% 的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异？
附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)K^2=\dfrac{n\left( ad-bc \right)^2}{\left( a+b \right)\left( c+d \right)\left( a+c \right)\left( b+d \right)}，

2023 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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22解析几何★★★☆☆
已知点 P(2,1)P(2,1)，直线 ll 的参数方程为 x=2+tcos⁡αx=2+t\cos\alpha，y=1+tsin⁡αy=1+t\sin\alpha（tt 为参数），α\alpha 为 ll 的倾斜角，ll 与 xx 轴正半轴，yy 轴正半轴分别交于 AA，BB 两点，且 ∣PA∣⋅∣PB∣=4\lvert PA \rvert\cdot\lvert PB \rvert=4.
(1) 求 α\alpha； (2) 以坐标原点为极点，xx 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求 ll 的极坐标方程.

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23不等式★★★☆☆
设 a>0a>0，函数 f(x)=2∣x−a∣−af(x)=2\lvert x-a \rvert-a.
(1) 求不等式 f(x)<xf(x)<x 的解集； (2) 若曲线 y=f(x)y=f(x) 与 xx 轴所围成的图形的面积为 2，求 aa.

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17三角函数★★★☆☆
记 △ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc，已知 b2+c2−a2cos⁡A=2\dfrac{b^2+c^2-a^2}{\cos A}=2.
(1) 求 bcbc； (2) 若 acos⁡B−bcos⁡Aacos⁡B+bcos⁡A−bc=1\dfrac{a\cos B-b\cos A}{a\cos B+b\cos A}-\dfrac{b}{c}=1，求 △ABC\triangle ABC 面积.

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18立体几何初步★★★☆☆
如图，在三棱柱 ABC−A1B1C1ABC-A_1B_1C_1 中，A1C⊥A_1C\perp 平面 ABCABC，∠ACB=90∘\angle ACB=90^\circ.
(1) 证明：平面 ACC1A1⊥ACC_1A_1\perp 平面 BCC1B1BCC_1B_1； (2) 设 AB=A1BAB=A_1B，AA1=2AA_1=2，求四棱锥 A1−BB1C1CA_1-BB_1C_1C 的高.

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19概率与统计★★★☆☆
一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选 40 只小白鼠，随机地将其中 20 只分配到试验组，另外 20 只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g\mathrm{g}）. 试验结果如下：
对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为
15.2，18.8，20.2，21.3，22.5，23.2，25.8，26.5，27.5，30.1，
32.6，34.3，34.8，35.6，35.6，35.8，36.2，37.3，40.5，43.2
试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为
7.8，9.2，11.4，12.4，13.2，15.5，16.5，18.0，18.8，19.2，
19.8，20.2，21.6，22.8，23.6，23.9，25.1，28.2，32.3，36.5
(1) 计算试验组的样本平均数； (2) (i) 求 40 只小白鼠体重的增加量的中位数 mm，再分别统计两样本中小于 mm 与不小于 mm 的数据的个数，完成如下列联表 (ii) 根据列联表，能否有 95%95\% 的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异？
附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)K^2=\dfrac{n\left(ad-bc\right)^2}{\left(a+b\right)\left(c+d\right)\left(a+c\right)\left(b+d\right)}，

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22解析几何★★★☆☆
已知点 P(2,1)P(2,1)，直线 ll 的参数方程为
{x=2+tcos⁡α,y=1+tsin⁡α,\begin{cases} x=2+t\cos\alpha,\\ y=1+t\sin\alpha, \end{cases}
（tt 为参数），α\alpha 为 ll 的倾斜角，ll 与 xx 轴正半轴，yy 轴正半轴分别交于 AA，BB，且 ∣PA∣⋅∣PB∣=4|PA|\cdot|PB|=4.
(1) 求 α\alpha； (2) 以坐标原点为极点，xx 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求 ll 的极坐标方程.

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23不等式★★★☆☆
已知 f(x)=2∣x−a∣−af(x)=2|x-a|-a，a>0a>0.
(1) 求不等式 f(x)<xf(x)<x 的解集； (2) 若曲线 y=f(x)y=f(x) 与 xx 轴所围成的图形的面积为 22，求 aa.

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17数列★★★☆☆
记 SnS_n 为数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和. 已知 2Snn+n=2an+1\frac{2S_n}{n}+n=2a_n+1.
(1) 证明：{an}\{a_n\} 是等差数列； (2) 若 a4a_4，a7a_7，a9a_9 成等比数列，求 SnS_n 的最小值.

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18立体几何初步★★★☆☆
在四棱锥 P−ABCDP-ABCD 中，PD⊥PD\perp 底面 ABCDABCD，CD∥ABCD\parallel AB，AD=DC=CB=1AD=DC=CB=1，AB=2AB=2，DP=3DP=\sqrt3.
(1) 证明：BD⊥PABD\perp PA； (2) 求 PDPD 与平面 PABPAB 所成的角的正弦值.

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19概率与统计★★★☆☆
甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得 1010 分，负方得 00 分，没有平局. 三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军. 已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为 0.50.5，0.40.4，0.80.8，各项目的比赛结果相互独立.
(1) 求甲学校获得冠军的概率； (2) 用 XX 表示乙学校的总得分，求 XX 的分布列与期望.

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22解析几何★★★☆☆
在直角坐标系 xOyxOy 中，曲线 C1C_1 的参数方程为
{x=2+t6y=t\begin{cases} x=\dfrac{2+t}{6}\\ y=\sqrt t \end{cases}
（tt 为参数），曲线 C2C_2 的参数方程为
{x=−2+s6y=−s\begin{cases} x=-\dfrac{2+s}{6}\\ y=-\sqrt s \end{cases}
（ss 为参数）.
(1) 写出 C1C_1 的普通方程； (2) 以坐标原点为极点，xx 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C3C_3 的极坐标方程为 2cos⁡θ−sin⁡θ=02\cos\theta-\sin\theta=0，求 C3C_3 与 C1C_1 交点的直角坐标，及 C3C_3 与 C2C_2 交点的直角坐标.

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18数列★★★☆☆
记 SnS_n 为数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和. 已知 2Snn+n=2an+1\dfrac{2S_n}{n}+n=2a_n+1.
(1) 证明：{an}\{a_n\} 是等差数列； (2) 若 a4a_4，a7a_7，a9a_9 成等比数列，求 SnS_n 的最小值.

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19立体几何初步★★★☆☆
小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面 ABCDABCD 是边长为 8 cm8\mathrm{~cm} 的正方形，△EAB\triangle EAB，△FBC\triangle FBC，△GCD\triangle GCD，△HDA\triangle HDA 均为正三角形，且它们所在的平面都与平面 ABCDABCD 垂直.
(1) 证明：EF∥EF\parallel 平面 ABCDABCD； (2) 求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）.

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22解析几何★★★☆☆
在直角坐标系 xOyxOy 中，曲线 C1C_1 的参数方程为 x=2+t6x=\dfrac{2+t}{6}，y=ty=\sqrt{t}（tt 为参数）；曲线 C2C_2 的参数方程为 x=−2+s6x=-\dfrac{2+s}{6}，y=−sy=-\sqrt{s}（ss 为参数）.
(1) 写出 C1C_1 的普通方程； (2) 以坐标原点为极点，xx 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C3C_3 的极坐标方程为 2cos⁡θ−sin⁡θ=02\cos\theta-\sin\theta=0，求 C3C_3 与 C1C_1 交点的直角坐标，及 C3C_3 与 C2C_2 交点的直角坐标.

2022 · 全国 · 甲卷 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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18数列★★★☆☆
已知数列 {an}\{a_n\} 的各项均为正数，记 SnS_n 为 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和，从下面三个条件中选取两个作为条件，证明另外一个成立.
① 数列 {an}\{a_n\} 是等差数列； ② 数列 {Sn}\left\{\sqrt{S_n}\right\} 是等差数列； ③ a2=3a1a_2=3a_1.

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22解析几何★★★☆☆
在直角坐标系 xOyxOy 中，以坐标原点为极点，xx 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 CC 的极坐标方程为 ρ=22cos⁡θ\rho=2\sqrt{2}\cos \theta.
(1) 将 CC 的极坐标方程化为直角坐标方程； (2) 设点 AA 的直角坐标为 (1,0)(1,0)，MM 为 CC 上的动点，点 PP 满足 AP→=2AM→\overrightarrow{AP}=\sqrt{2}\overrightarrow{AM}，写出 PP 的轨迹 C1C_1 的参数方程，并判断 CC 与 C1C_1 是否有公共点.

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23不等式★★★☆☆
已知函数 f(x)=∣x−2∣f(x)=|x-2|，g(x)=∣2x+3∣−∣2x−1∣g(x)=|2x+3|-|2x-1|.
(1) 画出 y=f(x)y=f(x) 和 y=g(x)y=g(x) 的图像； (2) 若 f(x+a)≥g(x)f(x+a)\ge g(x)，求 aa 的取值范围.

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17概率与统计★★★☆☆
甲，乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品. 为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了 200200 件产品，产品的质量情况统计如下表：
(1) 甲机床，乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？ (2) 能否有 99%99\% 的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？
附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)K^2=\dfrac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}

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