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1513分立体几何初步★★★☆☆
如图，在直三棱柱 ABC−A1B1C1ABC-A_1B_1C_1 中，∠ACB=90∘\angle ACB=90^\circ，AC=BCAC=BC，DD，EE 分别为 ABAB，AC1AC_1 的中点.
(1) 证明：DE//平面BCC1B1DE // \text{平面} BCC_1B_1； (2) 设 CC1=2CC_1=2，直线 DEDE 与平面 ACC1A1ACC_1A_1 所成的角为 45∘45^\circ，求直线 DEDE 到平面 BCC1B1BCC_1B_1 的距离．

2026 · 全国 · 一卷 · 第 15 题 · 解答题

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1715分概率与统计★★★☆☆
设整数 N≥2N\ge 2. 某同学用一个球进行投篮练习，至多投篮 NN 次，当且仅当投中 11 次时或 NN 次均未投中时，停止练习. 设该同学每次投中的概率为 pp（0<p<10<p<1），各次投中与否相互独立. 记 XX 为停止练习时该同学的投篮次数.
(1) 当 N=4N=4，p=13p=\dfrac{1}{3} 时，求 XX 的分布列； (2) 设 kk，mm 均为自然数.
(i) 当 k≤N−1k\le N-1 时，求 P(X>k)P(X>k)； (ii) 当 k+m≤N−1k+m\le N-1 时，证明：P(X>k+m∣X>k)=P(X>m)P(X>k+m\mid X>k)=P(X>m)．

2026 · 全国 · 一卷 · 第 17 题 · 解答题

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1513分概率与统计★★★☆☆
为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了1000人，得到如下列联表：
\multicolumn1∣c∣组别\multicolumn3c∣超声波检查结果\cline2−4正常不正常合计患该疾病20180200未患该疾病78020800合计8002001000\begin{array}{c} \hline \multicolumn{1}{|c|}{组别} & \multicolumn{3}{c|}{超声波检查结果} \\ \cline{2-4} & 正常 & 不正常 & 合计 \\ \hline 患该疾病 & 20 & 180 & 200 \\ \hline 未患该疾病 & 780 & 20 & 800 \\ \hline 合计 & 800 & 200 & 1000 \\ \hline \end{array}
(1) 记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为 pp，求 pp 的估计值； (2) 根据小概率值 α=0.001\alpha = 0.001 的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关.
附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)\chi^2 = \frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}

2025 · 全国 · 一卷 · 第 15 题 · 解答题

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1513分三角函数★★★☆☆
记 △ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 对边分别为 aa，bb，cc. 已知 sin⁡C=2cos⁡B\sin C =2\cos B，a2+b2−c2=2 aba^2+b^2-c^2=\sqrt2\,ab.
(1) 求 BB； (2) 若 △ABC\triangle ABC 的面积为 3+33+\sqrt3，求 cc.

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 15 题 · 解答题

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1715分三角函数★★★☆☆
已知在 △ABC\triangle ABC 中，A+B=3CA+B=3C，2sin⁡(A−C)=sin⁡B2\sin(A-C)=\sin B.
(1) 求 sin⁡A\sin A； (2) 设 AB=5AB=5，求 ABAB 边上的高.

2023 · 全国 · 新高考一卷 · 第 17 题 · 解答题

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1715分数列★★★☆☆
记 SnS_n 为数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和，已知 a1=1a_1=1，数列 {Snan}\left\{\frac{S_n}{a_n}\right\} 是公差为 13\frac13 的等差数列.
(1) 求 {an}\{a_n\} 的通项公式； (2) 证明：1a1+1a2+⋯+1an<2\frac1{a_1}+\frac1{a_2}+\cdots+\frac1{a_n}<2.

2022 · 全国 · 新高考一卷 · 第 17 题 · 解答题

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1917分立体几何初步★★★☆☆
如图，直三棱柱 ABC−A1B1C1ABC-A_1B_1C_1 的体积为 44，△A1BC\triangle A_1BC 的面积为 222\sqrt2.
(1) 求 AA 到平面 A1BCA_1BC 的距离； (2) 设 DD 为 A1CA_1C 的中点，AA1=ABAA_1=AB，平面 A1BC⊥A_1BC\perp 平面 ABB1A1ABB_1A_1，求二面角 A−BD−CA-BD-C 的正弦值.

2022 · 全国 · 新高考一卷 · 第 19 题 · 解答题

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2015分概率与统计★★★☆☆
一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了 100100 例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了 100100 人（称为对照组），得到如下数据：
(1) 能否有 99%99\% 的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？ (2) 从该地的人群中任选一人，AA 表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，BB 表示事件“选到的人患有该疾病”. P(B∣A)P(B‾∣A)\frac{P(B\mid A)}{P(\overline B\mid A)} 与 P(B∣A‾)P(B‾∣A‾)\frac{P(B\mid \overline A)}{P(\overline B\mid \overline A)} 的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为 RR.
(i) 证明：R=P(B∣A)P(B‾∣A)÷P(B∣A‾)P(B‾∣A‾)=P(A∣B)P(A‾∣B)⋅P(A‾∣B‾)P(A∣B‾);R=\frac{P(B\mid A)}{P(\overline B\mid A)}\div \frac{P(B\mid \overline A)}{P(\overline B\mid \overline A)}=\frac{P(A\mid B)}{P(\overline A\mid B)}\cdot \frac{P(\overline A\mid \overline B)}{P(A\mid \overline B)}; (ii) 利用该调查数据，给出 P(A∣B)P(A\mid B)，P(A∣B‾)P(A\mid \overline B) 的估计值，并利用（1）的结果给出 RR 的估计值.
附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)K^2=\frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}，

2022 · 全国 · 新高考一卷 · 第 20 题 · 解答题

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1715分数列★★★☆☆
已知数列 {an}\{a_n\} 满足 a1=1a_1=1，且
an+1={an+1,n为奇数,an+2,n为偶数.a_{n+1}=\begin{cases} a_n+1, & n\text{为奇数},\\ a_n+2, & n\text{为偶数}. \end{cases}
(1) 记 bn=a2nb_n=a_{2n}，写出 b1b_1，b2b_2，并求数列 {bn}\{b_n\} 的通项公式； (2) 求 {an}\{a_n\} 的前 2020 项和.

2021 · 全国 · 新高考一卷 · 第 17 题 · 解答题

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15立体几何初步★★★☆☆
在三棱柱 ABC−A1B1C1ABC-A_1B_1C_1 中，AB⊥ACAB\perp AC，B1C⊥B_1C\perp 平面 ABCABC，EE，FF 分别是 ACAC，B1CB_1C 的中点.
(1) 求证：EF∥EF\parallel 平面 AB1C1AB_1C_1； (2) 求证：平面 AB1C⊥AB_1C\perp 平面 ABB1ABB_1.

2020 · 江苏 · 第 15 题 · 解答题

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16三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc，已知 a=3a=3，c=2c=\sqrt2，B=45∘B=45^\circ.
(1) 求 sin⁡C\sin C 的值； (2) 在边 BCBC 上取一点 DD，使得 cos⁡∠ADC=−45\cos\angle ADC=-\dfrac45，求 tan⁡∠DAC\tan\angle DAC 的值.

2020 · 江苏 · 第 16 题 · 解答题

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17导数及其应用★★★☆☆
某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底 OO 在水平线 MNMN 上，桥 ABAB 与 MNMN 平行，OO′OO' 为铅垂线（O′O' 在 ABAB 上）. 经测量，左侧曲线 AOAO 上任一点 DD 到 MNMN 的距离 h1h_1（ m\mathrm{~m}）与 DD 到 OO′OO' 的距离 aa（ m\mathrm{~m}）之间满足关系式 h1=140a2h_1=\dfrac{1}{40}a^2；右侧曲线 BOBO 上任一点 FF 到 MNMN 的距离 h2h_2（ m\mathrm{~m}）与 FF 到 OO′OO' 的距离 bb（ m\mathrm{~m}）之间满足关系式 h2=−1800b3+6bh_2=-\dfrac{1}{800}b^3+6b. 已知点 BB 到 OO′OO' 的距离为 40 m40\mathrm{~m}.
(1) 求桥 ABAB 的长度； (2) 计划在谷底两侧建造平行于 OO′OO' 的桥墩 CDCD 和 EFEF，且 CECE 为 80 m80\mathrm{~m}，其中 CC，EE 在 ABAB 上（不包括端点）. 桥墩 EFEF 每米造价 kk（万元），桥墩 CDCD 每米造价 32k\dfrac32k（万元）（k>0k>0）. 问 O′EO'E 为多少米时，桥墩 CDCD 与 EFEF 的总造价最低？

2020 · 江苏 · 第 17 题 · 解答题

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21解析几何★★★☆☆
在极坐标系中，已知点 A ⁣(ρ1,π3)A\!\left(\rho_1,\dfrac\pi3\right) 在直线 l:ρcos⁡θ=2l:\rho\cos\theta=2 上，点 B ⁣(ρ2,π6)B\!\left(\rho_2,\dfrac\pi6\right) 在圆 C:ρ=4sin⁡θC:\rho=4\sin\theta 上（其中 ρ≥0\rho\ge0，0≤θ<2π0\le\theta<2\pi）.
(1) 求 ρ1\rho_1，ρ2\rho_2 的值； (2) 求出直线 ll 与圆 CC 的公共点的极坐标.

2020 · 江苏 · 第 21 题（B） · 解答题

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15三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc.
(1) 若 a=3ca=3c，b=2b=\sqrt2，cos⁡B=23\cos B=\dfrac23，求 cc 的值； (2) 若 sin⁡Aa=cos⁡B2b\dfrac{\sin A}{a}=\dfrac{\cos B}{2b}，求 sin⁡(B+π2)\sin\left(B+\dfrac{\pi}{2}\right) 的值.

2019 · 江苏 · 第 15 题 · 解答题

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16立体几何初步★★★☆☆
如图，在直三棱柱 ABC−A1B1C1ABC-A_1B_1C_1 中，DD，EE 分别为 BCBC，ACAC 的中点，AB=BCAB=BC.
求证：
(1) A1B1∥A_1B_1\parallel 平面 DEC1DEC_1； (2) BE⊥C1EBE\perp C_1E.

2019 · 江苏 · 第 16 题 · 解答题

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21解析几何★★★☆☆
在极坐标系中，已知两点 A ⁣(3,π4)A\!\left(3,\dfrac{\pi}{4}\right)，B ⁣(2,π2)B\!\left(\sqrt2,\dfrac{\pi}{2}\right)，直线 ll 的方程为 ρsin⁡(θ+π4)=3\rho\sin\left(\theta+\dfrac{\pi}{4}\right)=3.
(1) 求 AA，BB 两点间的距离； (2) 求点 BB 到直线 ll 的距离.

2019 · 江苏 · 第 21 题（B） · 解答题

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22计数原理与组合数学★★★☆☆
设 (1+x)n=a0+a1x+a2x2+⋯+anxn(1+x)^n=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n，其中 n≥4n\ge 4，n∈N∗n\in\mathbf{N}^*. 已知 a32=2a2a4a_3^2=2a_2a_4.
(1) 求 nn 的值； (2) 设 (1+3)n=a+b3(1+\sqrt3)^n=a+b\sqrt3，其中 aa，b∈N∗b\in\mathbf{N}^*，求 a2−3b2a^2-3b^2 的值.

2019 · 江苏 · 第 22 题 · 解答题

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15立体几何初步★★★☆☆
在平行六面体 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 中，AA1=ABAA_1=AB，AB1⊥B1C1AB_1\perp B_1C_1. 求证：
(1) AB∥AB\parallel 平面 A1B1CA_1B_1C； (2) 平面 ABB1A1⊥ABB_1A_1\perp 平面 A1BCA_1BC.

2018 · 江苏 · 第 15 题 · 解答题

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16三角函数★★★☆☆
已知 α\alpha，β\beta 为锐角，tan⁡α=43\tan\alpha=\dfrac{4}{3}，cos⁡(α+β)=−55\cos(\alpha+\beta)=-\dfrac{\sqrt5}{5}.
(1) 求 cos⁡2α\cos 2\alpha 的值； (2) 求 tan⁡(α−β)\tan(\alpha-\beta) 的值.

2018 · 江苏 · 第 16 题 · 解答题

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21解析几何★★★☆☆
在极坐标系中，直线 ll 的方程为 ρsin⁡ ⁣(π6−θ)=2\rho\sin\!\left(\dfrac{\pi}{6}-\theta\right)=2，曲线 CC 的方程为 ρ=4cos⁡θ\rho=4\cos\theta，求直线 ll 被曲线 CC 截得的弦长.

2018 · 江苏 · 第 21 题（C） · 解答题

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21不等式★★★☆☆
若 xx，yy，zz 为实数，且 x+2y+2z=6x+2y+2z=6，求 x2+y2+z2x^2+y^2+z^2 的最小值.

2018 · 江苏 · 第 21 题（D） · 解答题

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22立体几何初步★★★☆☆
如图，在正三棱柱 ABC−A1B1C1ABC-A_1B_1C_1 中，AB=AA1=2AB=AA_1=2，点 PP，QQ 分别为 A1B1A_1B_1，BCBC 的中点.
(1) 求异面直线 BPBP 与 AC1AC_1 所成角的余弦值； (2) 求直线 CC1CC_1 与平面 AQC1AQC_1 所成角的正弦值.

2018 · 江苏 · 第 22 题 · 解答题

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15立体几何初步★★★☆☆
如图，在三棱锥 A−BCDA-BCD 中，AB⊥ADAB\perp AD，BC⊥BDBC\perp BD，平面 ABD⊥ABD\perp 平面 BCDBCD，点 EE，FF（EE 与 AA，DD 不重合）分别在棱 ADAD，BDBD 上，且 EF⊥ADEF\perp AD.
求证：
(1) EF∥EF\parallel 平面 ABCABC； (2) AD⊥ACAD\perp AC.

2017 · 江苏 · 第 15 题 · 解答题

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16平面向量★★★☆☆
已知向量 a=(cos⁡x,sin⁡x)\boldsymbol{a}=(\cos x,\sin x)，b=(3,−3)\boldsymbol{b}=(3,-\sqrt3)，x∈[0,π]x\in[0,\pi].
(1) 若 a∥b\boldsymbol{a}\parallel \boldsymbol{b}，求 xx 的值； (2) 记 f(x)=a⋅bf(x)=\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b}，求 f(x)f(x) 的最大值和最小值以及对应的 xx 的值.

2017 · 江苏 · 第 16 题 · 解答题

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21解析几何★★★☆☆
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，已知直线 ll 的参数方程为
{x=−8+t,y=t2\begin{cases} x=-8+t,\\ y=\dfrac{t}{2} \end{cases}
（tt 为参数），曲线 CC 的参数方程为
{x=2s2,y=22 s\begin{cases} x=2s^2,\\ y=2\sqrt2\,s \end{cases}
（ss 为参数）. 设 PP 为曲线 CC 上的动点，求点 PP 到直线 ll 的距离的最小值.

2017 · 江苏 · 第 21 题（C） · 解答题

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