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1513分立体几何初步★★★☆☆
如图，在直三棱柱 ABC−A1B1C1ABC-A_1B_1C_1 中，∠ACB=90∘\angle ACB=90^\circ，AC=BCAC=BC，DD，EE 分别为 ABAB，AC1AC_1 的中点.
(1) 证明：DE//平面BCC1B1DE // \text{平面} BCC_1B_1； (2) 设 CC1=2CC_1=2，直线 DEDE 与平面 ACC1A1ACC_1A_1 所成的角为 45∘45^\circ，求直线 DEDE 到平面 BCC1B1BCC_1B_1 的距离．

2026 · 全国 · 一卷 · 第 15 题 · 解答题

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1715分概率与统计★★★☆☆
设整数 N≥2N\ge 2. 某同学用一个球进行投篮练习，至多投篮 NN 次，当且仅当投中 11 次时或 NN 次均未投中时，停止练习. 设该同学每次投中的概率为 pp（0<p<10<p<1），各次投中与否相互独立. 记 XX 为停止练习时该同学的投篮次数.
(1) 当 N=4N=4，p=13p=\dfrac{1}{3} 时，求 XX 的分布列； (2) 设 kk，mm 均为自然数.
(i) 当 k≤N−1k\le N-1 时，求 P(X>k)P(X>k)； (ii) 当 k+m≤N−1k+m\le N-1 时，证明：P(X>k+m∣X>k)=P(X>m)P(X>k+m\mid X>k)=P(X>m)．

2026 · 全国 · 一卷 · 第 17 题 · 解答题

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1513分概率与统计★★★☆☆
为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了1000人，得到如下列联表：
\multicolumn1∣c∣组别\multicolumn3c∣超声波检查结果\cline2−4正常不正常合计患该疾病20180200未患该疾病78020800合计8002001000\begin{array}{c} \hline \multicolumn{1}{|c|}{组别} & \multicolumn{3}{c|}{超声波检查结果} \\ \cline{2-4} & 正常 & 不正常 & 合计 \\ \hline 患该疾病 & 20 & 180 & 200 \\ \hline 未患该疾病 & 780 & 20 & 800 \\ \hline 合计 & 800 & 200 & 1000 \\ \hline \end{array}
(1) 记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为 pp，求 pp 的估计值； (2) 根据小概率值 α=0.001\alpha = 0.001 的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关.
附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)\chi^2 = \frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}

2025 · 全国 · 一卷 · 第 15 题 · 解答题

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1513分三角函数★★★☆☆
记 △ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 对边分别为 aa，bb，cc. 已知 sin⁡C=2cos⁡B\sin C =2\cos B，a2+b2−c2=2 aba^2+b^2-c^2=\sqrt2\,ab.
(1) 求 BB； (2) 若 △ABC\triangle ABC 的面积为 3+33+\sqrt3，求 cc.

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 15 题 · 解答题

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1715分三角函数★★★☆☆
已知在 △ABC\triangle ABC 中，A+B=3CA+B=3C，2sin⁡(A−C)=sin⁡B2\sin(A-C)=\sin B.
(1) 求 sin⁡A\sin A； (2) 设 AB=5AB=5，求 ABAB 边上的高.

2023 · 全国 · 新高考一卷 · 第 17 题 · 解答题

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18三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，角 AA，BB，CC 所对边分别为 aa，bb，cc. 已知 4a=5 c4a=\sqrt5\,c，cos⁡C=35\cos C=\frac35.
(1) 求 sin⁡A\sin A 的值； (2) 若 b=11b=11，求 △ABC\triangle ABC 的面积.

2022 · 浙江 · 第 18 题 · 解答题

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18三角函数★★★☆☆
设函数 f(x)=sin⁡x+cos⁡xf(x)=\sin x+\cos x（x∈Rx\in\mathbf{R}）.
(1) 求函数 y=[f(x+π2)]2y=\bigl[f(x+\tfrac{\pi}{2})\bigr]^2 的最小正周期； (2) 求函数 y=f(x)f(x−π4)y=f(x)f(x-\tfrac{\pi}{4}) 在 [0,π2][0,\frac{\pi}{2}] 上的最大值.

2021 · 浙江 · 第 18 题 · 解答题

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18三角函数★★★☆☆
在锐角 △ABC\triangle ABC 中，角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc，且 2bsin⁡A=3 a2b\sin A=\sqrt3\,a.
(1) 求角 BB； (2) 求 cos⁡A+cos⁡B+cos⁡C\cos A+\cos B+\cos C 的取值范围.

2020 · 浙江 · 第 18 题 · 解答题

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18三角函数★★★☆☆
设函数 f(x)=sin⁡xf(x)=\sin x，x∈Rx\in\mathbf{R}.
(1) 已知 θ∈[0,2π)\theta\in[0,2\pi)，函数 f(x+θ)f(x+\theta) 是偶函数，求 θ\theta 的值； (2) 求函数 y=[f(x+π12)]2+[f(x+π4)]2y=\left[f\left(x+\dfrac{\pi}{12}\right)\right]^2+\left[f\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)\right]^2 的值域.

2019 · 浙江 · 第 18 题 · 解答题

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18三角函数★★★☆☆
已知角 α\alpha 的顶点与原点 OO 重合，始边与 xx 轴的非负半轴重合，它的终边过点 P(−35,−45)P\left(-\dfrac35,-\dfrac45\right).
(1) 求 sin⁡(α+π)\sin(\alpha+\pi) 的值； (2) 若角 β\beta 满足 sin⁡(α+β)=513\sin(\alpha+\beta)=\dfrac{5}{13}，求 cos⁡β\cos\beta 的值.

2018 · 浙江 · 第 18 题 · 解答题

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18三角函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=sin⁡2x−cos⁡2x−23sin⁡xcos⁡xf(x)=\sin^2x-\cos^2x-2\sqrt3\sin x\cos x（x∈Rx\in\mathbf{R}）.
(1) 求 f(2π3)f\left(\dfrac{2\pi}{3}\right) 的值. (2) 求 f(x)f(x) 的最小正周期及单调递增区间.

2017 · 浙江 · 第 18 题 · 解答题

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18立体几何初步★★★☆☆
如图，在三棱台 ABC−DEFABC-DEF 中，平面 BCFE⊥BCFE\perp 平面 ABCABC，∠ACB=90∘\angle ACB=90^\circ，BE=EF=FC=1BE=EF=FC=1，BC=2BC=2，AC=3AC=3.
(1) 求证：BF⊥BF\perp 平面 ACFDACFD； (2) 求直线 BDBD 与平面 ACFDACFD 所成角的余弦值.

2016 · 浙江 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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16三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，内角 AA，BB，CC 所对的边分别是 aa，bb，cc. 已知 A=π4A = \frac{\pi}{4}，b2−a2=12c2b^2 - a^2 = \frac{1}{2} c^2.
(1) 求 tan⁡C\tan C 的值； (2) 若 △ABC\triangle ABC 的面积为 3，求 bb 的值.

2015 · 浙江 · 理 · 第 16 题 · 解答题

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16三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，内角 AA，BB，CC 所对的边分别为 aa，bb，cc. 已知 tan⁡(π4+A)=2\tan\left(\frac\pi4+A\right)=2.
(1) 求 sin⁡2Asin⁡2A+cos⁡2A\frac{\sin 2A}{\sin 2A+\cos^2 A} 的值； (2) 若 B=π4B=\frac\pi4，a=3a=3，求 △ABC\triangle ABC 的面积.

2015 · 浙江 · 文 · 第 16 题 · 解答题

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17数列★★★☆☆
已知数列 {an}\{a_n\} 和 {bn}\{b_n\} 满足 a1=2a_1=2，b1=1b_1=1，an+1=2ana_{n+1}=2a_n（n∈N∗n\in\mathbf{N}^{*}），b1+12b2+13b3+⋯+1nbn=bn+1−1b_1+\frac{1}{2}b_2+\frac{1}{3}b_3+\dots+\frac{1}{n}b_n=b_{n+1}-1（n∈N∗n\in\mathbf{N}^{*}）.
(1) 求 ana_n 与 bnb_n； (2) 记数列 {anbn}\{a_nb_n\} 的前 nn 项和为 TnT_n，求 TnT_n.

2015 · 浙江 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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18三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，内角 AA，BB，CC 所对的边分别为 aa，bb，cc，已知 a≠ba \neq b，c=3c = \sqrt{3}，cos⁡2A−cos⁡2B=3sin⁡Acos⁡A−3sin⁡Bcos⁡B\cos^2 A - \cos^2 B = \sqrt{3} \sin A \cos A - \sqrt{3} \sin B \cos B.
(1) 求角 CC 的大小； (2) 若 sin⁡A=45\sin A = \frac{4}{5}，求 △ABC\triangle ABC 的面积.

2014 · 浙江 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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18三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，内角 AA，BB，CC 所对的边分别为 aa，bb，cc. 已知 4sin⁡2A−B2+4sin⁡Asin⁡B=2+24\sin^2\frac{A - B}{2} + 4\sin A\sin B = 2 + \sqrt{2}.
(1) 求角 CC 的大小； (2) 已知 b=4b = 4，△ABC\triangle ABC 的面积为 6，求边长 cc 的值.

2014 · 浙江 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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19数列★★★☆☆
已知等差数列 {an}\{a_{n}\} 的公差 d>0d > 0，设 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和为 SnS_{n}，a1=1a_{1} = 1，S2⋅S3=36S_{2} \cdot S_{3} = 36.
(1) 求 dd 及 SnS_{n}； (2) 求 mm，kk（mm，k∈N∗k \in \mathbf{N}^*）的值，使得 am+am+1+am+2+⋯+am+k=65a_m + a_{m+1} + a_{m+2} + \cdots + a_{m+k} = 65.

2014 · 浙江 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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18数列★★★☆☆
在公差为 dd 的等差数列 {an}\{a_{n}\} 中，已知 a1=10a_{1} = 10，且 a1a_{1}，2a2+22a_{2} + 2，5a35a_{3} 成等比数列.
(1) 求 dd，ana_{n}； (2) 若 d<0d < 0，求 ∣a1∣+∣a2∣+∣a3∣+⋯+∣an∣\left|a_{1}\right| + \left|a_{2}\right| + \left|a_{3}\right| + \cdots + \left|a_{n}\right|.

2013 · 浙江 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19概率与统计★★★☆☆
设袋子中装有 aa 个红球，bb 个黄球，cc 个蓝球，且规定：取出一个红球得 11 分，取出一个黄球得 22 分，取出一个蓝球得 33 分.
(1) 当 a=3a = 3，b=2b = 2，c=1c = 1 时，从该袋子中任取（有放回，且每球取到的机会均等）2个球，记随机变量 ξ\xi 为取出此 22 个球所得分数之和. 求 ξ\xi 分布列； (2) 从该袋子中任取（且每球取到的机会均等）1个球，记随机变量 η\eta 为取出此球所得分数. 若 E(η)=53E(\eta) = \frac{5}{3}，D(η)=59D(\eta) = \frac{5}{9}，求 a:b:ca:b:c.

2013 · 浙江 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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18三角函数★★★☆☆
在锐角 △ABC\triangle ABC 中，内角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc，且 2asin⁡B=3b2a \sin B = \sqrt{3} b.
(1) 求角 AA 的大小； (2) 若 a=6a = 6，b+c=8b + c = 8，求 △ABC\triangle ABC 的面积.

2013 · 浙江 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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19数列★★★☆☆
在公差为 dd 的等差数列 {an}\{a_{n}\} 中，已知 a1=10a_1 = 10，且 a1a_1，2a2+22a_2 + 2，5a35a_3 成等比数列.
(1) 求 dd，ana_{n}； (2) 若 d<0d < 0，求 ∣a1∣+∣a2∣+∣a3∣+⋯+∣an∣\left|a_{1}\right| + \left|a_{2}\right| + \left|a_{3}\right| + \cdots + \left|a_{n}\right|.

2013 · 浙江 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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18三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，内角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc. 已知 cos⁡A=23\cos A = \frac{2}{3}，sin⁡B=5cos⁡C\sin B = \sqrt{5} \cos C.
(1) 求 tan⁡C\tan C 的值； (2) 若 a=2a = \sqrt{2}，求 △ABC\triangle ABC 的面积.

2012 · 浙江 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19概率与统计★★★☆☆
已知箱中装有 44 个白球和 55 个黑球，且规定：取出一个白球得 22 分，取出一个黑球得 11 分. 现从该箱中任取（无放回，且每球取到的机会均等） 33 个球，记随机变量 XX 为取出此 33 个球所得分数之和.
(1) 求 XX 的分布列； (2) 求 E(X)E(X).

2012 · 浙江 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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18三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，内角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc，且 bsin⁡A=3acos⁡Bb \sin A = \sqrt{3} a \cos B.
(1) 求角 BB 的大小； (2) 若 b=3b = 3，sin⁡C=2sin⁡A\sin C = 2 \sin A，求 aa，cc 的值.

2012 · 浙江 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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