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135分三角函数★★★☆☆
已知 f(x)=2sin⁡(ax+θ)f(x)=2\sin(ax+\theta)（a∈Za\in\mathbf{Z}，0≤θ<2π0\le \theta<2\pi）是偶函数，f(x)f(x) 在区间 (0,π2)\left( 0,\frac{\pi}{2} \right) 单调递增，则 θ=‾\theta=\underline{\hspace{2em}}，f(2π3)=‾f\left( \frac{2\pi}{3} \right)=\underline{\hspace{2em}}．

2026 · 全国 · 一卷 · 第 13 题 · 填空题

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145分概率与统计★★★☆☆
有5个相同的球，分别标有数字 11，22，33，44，55，从中有放回地随机取3次，每次取1个球，记 XX 为这5个球中至少被取出1次的球的个数，则数学期望 E(X)=E(X) =______.

2025 · 全国 · 一卷 · 第 14 题 · 填空题

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125分解析几何★★★☆☆
设双曲线 x2a2−y2b2=1\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a>0a>0，b>0b>0） 的左右焦点分别为 F1F_1，F2F_2. 过 F2F_2 作与 yy 轴平行的直线交该双曲线于 AA，BB 两点. 若 ∣AF1∣=13|AF_1|=13，∣AB∣=10|AB|=10， 则该双曲线的离心率为（ ）.

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 12 题 · 填空题

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135分导数及其应用★★★☆☆
若曲线 y=ex+xy=\mathrm{e}^x+x 与曲线 y=ln⁡(x+1)+ay=\ln(x+1)+a 在点 (0,1)(0,1) 处有切线重合，则 a=a=______.

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 13 题 · 填空题

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155分三角函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=cos⁡ωx−1f(x)=\cos\omega x-1（ω>0\omega>0） 在区间 [0,2π][0,2\pi] 上有且仅有 33 个零点，则 ω\omega 的取值范围是______.

2023 · 全国 · 新高考一卷 · 第 15 题 · 填空题

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145分解析几何★★★☆☆
写出与圆 x2+y2=1x^2+y^2=1 和 (x−3)2+(y−4)2=16(x-3)^2+(y-4)^2=16 都相切的一条直线的方程______.

2022 · 全国 · 新高考一卷 · 第 14 题 · 填空题

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145分解析几何★★★☆☆
已知 OO 为坐标原点，抛物线 C:y2=2pxC:y^2=2px（p>0p>0）的焦点为 FF，PP 为 CC 上一点，PFPF 与 xx 轴垂直，QQ 为 xx 轴上一点，且 PQ⊥OPPQ\perp OP，若 ∣FQ∣=6|FQ|=6，则 CC 的准线方程为______.

2021 · 全国 · 新高考一卷 · 第 14 题 · 填空题

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155分导数及其应用★★★☆☆
函数 f(x)=∣2x−1∣−2ln⁡xf(x)=|2x-1|-2\ln x 的最小值为______.

2021 · 全国 · 新高考一卷 · 第 15 题 · 填空题

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15概率与统计★★★☆☆
甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）. 根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”. 设甲队主场取胜的概率为 0.60.6，客场取胜的概率为 0.50.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以 4:14:1 获胜的概率是______.
\begin{answer} 0.180.18 \end{answer}

2019 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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15三角函数★★★☆☆
函数 f(x)=sin⁡(2x+3π2)−3cos⁡xf(x)=\sin \left( 2x+\dfrac{3\pi}{2} \right)-3\cos x 的最小值为______.

2019 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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14数列★★★☆☆
记 SnS_n 为数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和. 若 Sn=2an+1S_n=2a_n+1，则 S6=S_6=______.

2018 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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16三角函数★★★☆☆
△ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc. 已知 bsin⁡C+csin⁡B=4asin⁡Bsin⁡Cb\sin C+c\sin B=4a\sin B\sin C，b2+c2−a2=8b^2+c^2-a^2=8，则 △ABC\triangle ABC 的面积为______.

2018 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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13三角函数★★★☆☆
如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 AA 处时测得公路北侧一山顶 DD 在西偏北 30∘30^\circ 的方向上，行驶 600 m600\,\mathrm{m} 后到达 BB 处，测得此山顶在西偏北 75∘75^\circ 的方向上，仰角为 30∘30^\circ，则此山的高度 CD=CD=______m\mathrm{m}.

2015 · 湖北 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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13函数与初等函数★★★☆☆
函数 f(x)=2sin⁡xsin⁡(x+π2)−x2f(x)=2\sin x\sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right)-x^2 的零点个数为______.

2015 · 湖北 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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15三角函数★★★☆☆
如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 AA 处时测得公路北侧一山顶 DD 在西偏北 30∘30^\circ 的方向上，行驶 600 m600\mathrm{~m} 后到达 BB 处，测得此山顶在西偏北 75∘75^\circ 的方向上，仰角为 30∘30^\circ，则此山的高度 CD=CD=______ m\mathrm{~m}.

2015 · 湖北 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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16解析几何★★★☆☆
如图，圆 CC 与 xx 轴相切于点 T(1,0)T(1,0)，与 yy 轴正半轴交于两点 AA，BB（BB 在 AA 的上方），且 ∣AB∣=2|AB|=2.
(1) 圆 CC 的标准方程为______. (2) 圆 CC 在点 BB 处的切线在 xx 轴上的截距为______.

2015 · 湖北 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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12解析几何★★★☆☆
直线 l1:y=x+al_{1}: y = x + a 和 l2:y=x+bl_{2}: y = x + b 分别将单位圆 C:x2+y2=1C: x^{2} + y^{2} = 1 分成长度相等的四段弧，则 a2+b2=a^{2} + b^{2}=______.

2014 · 湖北 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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13计数原理与组合数学★★★☆☆
设 aa 是一个各位数字都不是 0 且没有重复数字的三位数. 将组成 aa 的 3 个3\text{ 个}数字按从小到大排成的三位数记为 I(a)I(a)，按从大到小排成的三位数记为 D(a)D(a)（例如 a=815a = 815，则 I(a)=158I(a) = 158，D(a)=851D(a) = 851）. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个 aa，输出的结果是 b=b =______.

2014 · 湖北 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14函数与初等函数★★★☆☆
设 f(x)f(x) 是定义在 (0,+∞)(0, +\infty) 上的函数，且 f(x)>0f(x) > 0，对任意 a>0a > 0，b>0b > 0，若经过点 (a,f(a))(a, f(a))，(b,−f(b))(b, -f(b)) 的直线与 xx 轴的交点为 (c,0)(c, 0)，则称 cc 为 aa，bb 关于函数 f(x)f(x) 的平均数，记为 Mf(a,b)M_{f}(a,b). 例如，当 f(x)=1f(x)=1（x>0x>0）时，可得 Mf(a,b)=c=a+b2M_{f}(a,b)=c=\frac{a+b}{2}，即 Mf(a,b)M_{f}(a,b) 为 aa，bb 的算术平均数.
(1) 当 f(x)=f(x)=______（x>0x>0）时，Mf(a,b)M_f(a, b) 为 aa，bb 的几何平均数； (2) 当 f(x)=f(x)=______（x>0x>0）时，Mf(a,b)M_f(a, b) 为 aa，bb 的调和平均数 2aba+b\frac{2ab}{a + b}. （以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可）

2014 · 湖北 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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16导数及其应用★★★☆☆
某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量 FF（单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/小时\text{辆}/\text{小时}）与车流速度 vv（假设车辆以相同速度 vv 行驶，单位：米/秒\text{米}/\text{秒}），平均车长 ll（单位：米\text{米}）的值有关，其公式为 F=76000vv2+18v+20lF = \frac{76000v}{v^2 + 18v + 20l}.
(1) 如果不限定车型，l=6.05l = 6.05，则最大车流量为______辆/小时\text{辆}/\text{小时}； (2) 如果限定车型，l=5l = 5，则最大车流量比（1）中的最大车流量增加______辆/小时\text{辆}/\text{小时}.

2014 · 湖北 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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13不等式★★★☆☆
设 xx，yy，z∈Rz \in \mathbf{R}，且满足：x2+y2+z2=1x^2 + y^2 + z^2 = 1，x+2y+3z=14x + 2y + 3z = \sqrt{14}，则 x+y+z=‾x + y + z =\underline{\hspace{2em}}.

2013 · 湖北 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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15解析几何★★★☆☆
如图，圆 OO 上一点 CC 在直径 ABAB 上的射影为 DD，点 DD 在半径 OCOC 上的射影为 EE，若 AB=3ADAB = 3AD，则 CEEO\dfrac{CE}{EO} 的值为______.

2013 · 湖北 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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16解析几何★★★☆☆
在直角坐标系 xOyxOy 中，椭圆 CC 的参数方程为
{x=acos⁡φ,y=bsin⁡φ,\begin{cases} x = a\cos\varphi,\\ y = b\sin\varphi, \end{cases}
（φ\varphi 为参数，a>b>0a > b > 0），在极坐标系（与直角坐标系 xOyxOy 取相同的长度单位，且以原点 OO 为极点，以 xx 轴正半轴为极轴）中，直线 ll 与圆 OO 的极坐标方程分别为 ρsin⁡(θ+π4)=22m\rho\sin\left(\theta + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}m（mm 为非零常数）与 ρ=b\rho = b，若直线 ll 经过椭圆 CC 的焦点，且与圆 OO 相切，则椭圆 CC 的离心率为______.

2013 · 湖北 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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17计数原理与组合数学★★★☆☆
在平面直角坐标系中，若点 P(x,y)P(x,y) 的坐标 xx，yy 均为整数，则称点 PP 为格点，若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形，格点多边形的面积为 SS，其内部的格点数记为 NN，边界上的格点数记为 LL. 例如图中 △ABC\triangle ABC 是格点三角形，对应的 S=1S=1，N=0N=0，L=4L=4.
(1) 图中格点四边形 DEFGDEFG 对应的 SS，NN，LL 分别是______； (2) 已知格点多边形的面积可表示为 S=aN+bL+cS=aN+bL+c，其中 aa，bb，cc 为常数. 若某格点多边形对应的 N=71N=71，L=18L=18，则 S=S=______. （用数值作答）

2013 · 湖北 · 文 · 第 17 题 · 填空题

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15解析几何★★★☆☆
如图，点 DD 在 ⊙O\odot O 的弦 ABAB 上移动，AB=4AB = 4. 连接 ODOD，过点 DD 作 ODOD 的垂线交 ⊙O\odot O 于点 CC，则 CDCD 的最大值为______.

2012 · 湖北 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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