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135分三角函数★★★☆☆
已知 f(x)=2sin⁡(ax+θ)f(x)=2\sin(ax+\theta)（a∈Za\in\mathbf{Z}，0≤θ<2π0\le \theta<2\pi）是偶函数，f(x)f(x) 在区间 (0,π2)\left( 0,\frac{\pi}{2} \right) 单调递增，则 θ=‾\theta=\underline{\hspace{2em}}，f(2π3)=‾f\left( \frac{2\pi}{3} \right)=\underline{\hspace{2em}}．

2026 · 全国 · 一卷 · 第 13 题 · 填空题

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145分概率与统计★★★☆☆
有5个相同的球，分别标有数字 11，22，33，44，55，从中有放回地随机取3次，每次取1个球，记 XX 为这5个球中至少被取出1次的球的个数，则数学期望 E(X)=E(X) =______.

2025 · 全国 · 一卷 · 第 14 题 · 填空题

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125分解析几何★★★☆☆
设双曲线 x2a2−y2b2=1\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a>0a>0，b>0b>0） 的左右焦点分别为 F1F_1，F2F_2. 过 F2F_2 作与 yy 轴平行的直线交该双曲线于 AA，BB 两点. 若 ∣AF1∣=13|AF_1|=13，∣AB∣=10|AB|=10， 则该双曲线的离心率为（ ）.

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 12 题 · 填空题

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135分导数及其应用★★★☆☆
若曲线 y=ex+xy=\mathrm{e}^x+x 与曲线 y=ln⁡(x+1)+ay=\ln(x+1)+a 在点 (0,1)(0,1) 处有切线重合，则 a=a=______.

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 13 题 · 填空题

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155分三角函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=cos⁡ωx−1f(x)=\cos\omega x-1（ω>0\omega>0） 在区间 [0,2π][0,2\pi] 上有且仅有 33 个零点，则 ω\omega 的取值范围是______.

2023 · 全国 · 新高考一卷 · 第 15 题 · 填空题

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145分解析几何★★★☆☆
写出与圆 x2+y2=1x^2+y^2=1 和 (x−3)2+(y−4)2=16(x-3)^2+(y-4)^2=16 都相切的一条直线的方程______.

2022 · 全国 · 新高考一卷 · 第 14 题 · 填空题

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145分解析几何★★★☆☆
已知 OO 为坐标原点，抛物线 C:y2=2pxC:y^2=2px（p>0p>0）的焦点为 FF，PP 为 CC 上一点，PFPF 与 xx 轴垂直，QQ 为 xx 轴上一点，且 PQ⊥OPPQ\perp OP，若 ∣FQ∣=6|FQ|=6，则 CC 的准线方程为______.

2021 · 全国 · 新高考一卷 · 第 14 题 · 填空题

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155分导数及其应用★★★☆☆
函数 f(x)=∣2x−1∣−2ln⁡xf(x)=|2x-1|-2\ln x 的最小值为______.

2021 · 全国 · 新高考一卷 · 第 15 题 · 填空题

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15概率与统计★★★☆☆
甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）. 根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”. 设甲队主场取胜的概率为 0.60.6，客场取胜的概率为 0.50.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以 4:14:1 获胜的概率是______.
\begin{answer} 0.180.18 \end{answer}

2019 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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15三角函数★★★☆☆
函数 f(x)=sin⁡(2x+3π2)−3cos⁡xf(x)=\sin \left( 2x+\dfrac{3\pi}{2} \right)-3\cos x 的最小值为______.

2019 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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14数列★★★☆☆
记 SnS_n 为数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和. 若 Sn=2an+1S_n=2a_n+1，则 S6=S_6=______.

2018 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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16三角函数★★★☆☆
△ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc. 已知 bsin⁡C+csin⁡B=4asin⁡Bsin⁡Cb\sin C+c\sin B=4a\sin B\sin C，b2+c2−a2=8b^2+c^2-a^2=8，则 △ABC\triangle ABC 的面积为______.

2018 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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12概率与统计★★★☆☆
在一次马拉松比赛中，35 名运动员的成绩（单位：分钟）茎叶图如图所示.
130\quad 0\quad 3\quad 4\quad 5\quad 6\quad 6\quad 8\quad 8\quad 8\quad 9
141\quad 1\quad 1\quad 2\quad 2\quad 2\quad 3\quad 3\quad 4\quad 4\quad 5\quad 5\quad 5\quad 6\quad 6\quad 7\quad 8
150\quad 1\quad 2\quad 2\quad 3\quad 3\quad 3
若将运动员按成绩由好到差编为 1∼351 \sim 35 号，再用系统抽样的方法从中抽取 7 人，则其中成绩在区间 [139,151][139,151] 上的运动员人数是______.

2015 · 湖南 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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13解析几何★★★☆☆
设 FF 是双曲线 C:x2a2−y2b2=1C: \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 的一个焦点. 若 CC 上存在点 PP，使线段 PFPF 的中点恰为其虚轴的一个端点. 则 CC 的离心率为______.

2015 · 湖南 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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12解析几何★★★☆☆
如图，已知 ABAB，BCBC 是 ⊙O\odot O 的两条弦，AO⊥BCAO \perp BC，AB=3AB = \sqrt{3}，BC=22BC = 2\sqrt{2}，则 ⊙O\odot O 的半径等于______.
\begin{answer} 32\frac{3}{2} \end{answer}
\begin{solution} 设 MM 为弦 BCBC 的中点. 因为圆心到弦的垂线平分弦，所以 AO⊥BCAO\perp BC 使得 AA，OO，MM 共线，且
BM=BC2=2BM=\frac{BC}{2}=\sqrt{2}
在直角三角形 ABMABM 中，
AM2=AB2−BM2=3−2=1AM^2=AB^2-BM^2=3-2=1
所以 AM=1AM=1. 设圆半径为 RR，OM=uOM=u. 在直角三角形 OMBOMB 中，R2=u2+2R^2=u^2+2，从而 R>uR>u. 若 OO 在 AA、MM 之间，则 R+u=1R+u=1；若三点不按此顺序排列，则 R−u=1R-u=1. 结合
R2−u2=2R^2-u^2=2
分别得到 R−u=2R-u=2 或 R+u=2R+u=2，两种情形均有 2R=32R=3. 因而 R=32R=\frac{3}{2}. \end{solution}

2014 · 湖南 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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15解析几何★★★☆☆
如图，正方形 ABCDABCD 和正方形 DEFGDEFG 的边长分别为 aa，bb（a<ba < b），原点 OO 为 ADAD 的中点，抛物线 y2=2pxy^{2} = 2px（p>0p > 0） 经过 CC，FF 两点，则 ba=\frac{b}{a} =______.
\begin{answer} 1+21+\sqrt{2} \end{answer}
\begin{solution} 建立如图所示的直角坐标系，令 ADAD 在 xx 轴上且正方形 ABCDABCD 位于其下方，则 A(−a2,0)A\left(-\frac a2,0\right)，D(a2,0)D\left(\frac a2,0\right)，C(a2,−a)C\left(\frac a2,-a\right)，F(a2+b,b)F\left(\frac a2+b,b\right). 把点 CC 代入抛物线方程，得 a2=2p⋅a2=paa^2=2p\cdot\frac a2=pa，所以 p=ap=a. 再把点 FF 代入，得
b2=2a(a2+b)=a2+2abb^2=2a\left(\frac a2+b\right)=a^2+2ab
令 r=bar=\frac{b}{a}，由 a>0a>0 得 r2=1+2rr^2=1+2r，即 r2−2r−1=0r^2-2r-1=0. 因为 b>ab>a，取正根，故 ba=1+2\frac ba=1+\sqrt2. \end{solution}

2014 · 湖南 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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16平面向量★★★☆☆
在平面直角坐标系中， OO 为原点，A(−1,0)A(-1,0)，B(0,3)B(0,\sqrt{3})，C(3,0)C(3,0)，动点 DD 满足 ∣CD→∣=1\left|\overrightarrow{CD}\right| = 1，则 ∣OA→+OB→+OD→∣\left|\overrightarrow{OA} +\overrightarrow{OB} +\overrightarrow{OD}\right| 的最大值是______. \begin{answer} 1+71+\sqrt{7} \end{answer}
\begin{solution} 由点的坐标得
OA→+OB→+OC→=(−1,0)+(0,3)+(3,0)=(2,3)\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=(-1,0)+(0,\sqrt3)+(3,0)=(2,\sqrt3)
又因为 ∣CD→∣=1|\overrightarrow{CD}|=1，可写成 OD→=OC→+CD→\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{CD}，故
OA→+OB→+OD→=(2,3)+CD→\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}=(2,\sqrt3)+\overrightarrow{CD}
由三角不等式，该向量的模不超过 22+(3)2+1=7+1\sqrt{2^2+(\sqrt3)^2}+1=\sqrt7+1. 当 CD→\overrightarrow{CD} 与 (2,3)(2,\sqrt3) 同方向时等号成立，所以最大值为 1+71+\sqrt7. \end{solution}

2014 · 湖南 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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14解析几何★★★☆☆
平面上一机器人在行进中始终保持与点 F(1,0)F(1,0) 的距离和到直线 x=−1x = -1 的距离相等. 若机器人接触不到过点 P(−1,0)P(-1,0) 且斜率为 kk 的直线，则 kk 的取值范围是______.

2014 · 湖南 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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10不等式★★★☆☆
已知 aa，bb，c∈Rc \in \mathbf{R}，a+2b+3c=6a + 2b + 3c = 6，则 a2+4b2+9c2a^2 + 4b^2 + 9c^2 的最小值为______.

2013 · 湖南 · 理 · 第 10 题 · 填空题

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14解析几何★★★☆☆
设 F1F_{1}，F2F_{2} 是双曲线 C:x2a2−y2b2=1C: \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 （a>0a > 0，b>0b > 0）的两个焦点，PP 是 CC 上一点，若 ∣PF1∣+∣PF2∣=6a|PF_{1}| + |PF_{2}| = 6a，且 △PF1F2\triangle PF_{1}F_{2} 的最小内角为 30∘30^{\circ}，则 CC 的离心率为______.

2013 · 湖南 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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14解析几何★★★☆☆
设 F1F_{1}，F2F_{2} 是双曲线 C:x2a2−y2b2=1C: \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 （a>0a > 0，b>0b > 0）的两个焦点. 若在 CC 上存在一点 PP，使 PF1⊥PF2PF_{1} \perp PF_{2}，且 ∠PF1F2=30∘\angle PF_{1}F_{2} = 30^{\circ}，则 CC 的离心率为______.

2013 · 湖南 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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15导数及其应用★★★☆☆
函数 f(x)=sin⁡(ωx+φ)f(x)=\sin(\omega x+\varphi) 的导函数 y=f′(x)y=f'(x) 的部分图象如图所示，其中，PP 为图象与 yy 轴的交点，AA，CC 为图象与 xx 轴的两个交点，BB 为图象的最低点.
(1) 若 φ=π6\varphi=\frac{\pi}{6}，点 PP 的坐标为 (0,332)\left(0,\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)，则 ω=\omega=______. (2) 若在曲线段 ABC⌢\overset{\frown}{ABC} 与 xx 轴所围成的区域内随机取一点，则该点在 △ABC\triangle ABC 内的概率为______.

2012 · 湖南 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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16数列★★★☆☆
对于 n∈N∗n \in \mathbf{N}^*，将 nn 表示为 n=ak×2k+ak−1×2k−1+⋯+a1×21+a0×20n = a_k \times 2^k + a_{k-1} \times 2^{k-1} + \cdots + a_1 \times 2^1 + a_0 \times 2^0，当 i=ki = k 时，ai=1a_i = 1，当 0⩽i⩽k−10 \leqslant i \leqslant k - 1 时，aia_i 为 0 或 1. 定义 bnb_n 如下：在 nn 的上述表示中，当 a0a_0，a1a_1，a2a_2，⋯\cdots，aka_k 中等于 1 的个数为奇数时，bn=1b_n = 1；否则 bn=0b_n = 0.
(1) b2+b4+b6+b8=‾b_{2}+b_{4}+b_{6}+b_{8}=\underline{\hspace{2em}}； (2) 记 cmc_{m} 为数列 {bn}\{b_{n}\} 中第 mm 个为 0 的项与第 m+1m + 1 个为 0 的项之间的项数，则 cmc_{m} 的最大值是______.

2012 · 湖南 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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10不等式★★★☆☆
设 xx，y∈Ry \in \mathbf{R}，且 xy≠0xy \neq 0，则 (x2+1y2)(1x2+4y2)\left(x^2 + \frac{1}{y^2}\right)\left(\frac{1}{x^2} + 4y^2\right) 的最小值为______.

2011 · 湖南 · 理 · 第 10 题 · 填空题

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14不等式★★★☆☆
设 m>1m > 1，在约束条件
{y⩾x,y⩽mx,x+y⩽1\begin{cases} y \geqslant x,\\ y \leqslant mx,\\ x + y \leqslant 1 \end{cases}
下目标函数 z=x+5yz = x + 5y 的最大值为 44，则 mm 的值为______.

2011 · 湖南 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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