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135分三角函数★★★☆☆
已知 f(x)=2sin⁡(ax+θ)f(x)=2\sin(ax+\theta)（a∈Za\in\mathbf{Z}，0≤θ<2π0\le \theta<2\pi）是偶函数，f(x)f(x) 在区间 (0,π2)\left( 0,\frac{\pi}{2} \right) 单调递增，则 θ=‾\theta=\underline{\hspace{2em}}，f(2π3)=‾f\left( \frac{2\pi}{3} \right)=\underline{\hspace{2em}}．

2026 · 全国 · 一卷 · 第 13 题 · 填空题

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145分概率与统计★★★☆☆
有5个相同的球，分别标有数字 11，22，33，44，55，从中有放回地随机取3次，每次取1个球，记 XX 为这5个球中至少被取出1次的球的个数，则数学期望 E(X)=E(X) =______.

2025 · 全国 · 一卷 · 第 14 题 · 填空题

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125分解析几何★★★☆☆
设双曲线 x2a2−y2b2=1\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a>0a>0，b>0b>0） 的左右焦点分别为 F1F_1，F2F_2. 过 F2F_2 作与 yy 轴平行的直线交该双曲线于 AA，BB 两点. 若 ∣AF1∣=13|AF_1|=13，∣AB∣=10|AB|=10， 则该双曲线的离心率为（ ）.

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 12 题 · 填空题

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135分导数及其应用★★★☆☆
若曲线 y=ex+xy=\mathrm{e}^x+x 与曲线 y=ln⁡(x+1)+ay=\ln(x+1)+a 在点 (0,1)(0,1) 处有切线重合，则 a=a=______.

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 13 题 · 填空题

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155分三角函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=cos⁡ωx−1f(x)=\cos\omega x-1（ω>0\omega>0） 在区间 [0,2π][0,2\pi] 上有且仅有 33 个零点，则 ω\omega 的取值范围是______.

2023 · 全国 · 新高考一卷 · 第 15 题 · 填空题

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145分解析几何★★★☆☆
写出与圆 x2+y2=1x^2+y^2=1 和 (x−3)2+(y−4)2=16(x-3)^2+(y-4)^2=16 都相切的一条直线的方程______.

2022 · 全国 · 新高考一卷 · 第 14 题 · 填空题

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145分解析几何★★★☆☆
已知 OO 为坐标原点，抛物线 C:y2=2pxC:y^2=2px（p>0p>0）的焦点为 FF，PP 为 CC 上一点，PFPF 与 xx 轴垂直，QQ 为 xx 轴上一点，且 PQ⊥OPPQ\perp OP，若 ∣FQ∣=6|FQ|=6，则 CC 的准线方程为______.

2021 · 全国 · 新高考一卷 · 第 14 题 · 填空题

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155分导数及其应用★★★☆☆
函数 f(x)=∣2x−1∣−2ln⁡xf(x)=|2x-1|-2\ln x 的最小值为______.

2021 · 全国 · 新高考一卷 · 第 15 题 · 填空题

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15概率与统计★★★☆☆
甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）. 根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”. 设甲队主场取胜的概率为 0.60.6，客场取胜的概率为 0.50.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以 4:14:1 获胜的概率是______.
\begin{answer} 0.180.18 \end{answer}

2019 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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15三角函数★★★☆☆
函数 f(x)=sin⁡(2x+3π2)−3cos⁡xf(x)=\sin \left( 2x+\dfrac{3\pi}{2} \right)-3\cos x 的最小值为______.

2019 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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14数列★★★☆☆
记 SnS_n 为数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和. 若 Sn=2an+1S_n=2a_n+1，则 S6=S_6=______.

2018 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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16三角函数★★★☆☆
△ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc. 已知 bsin⁡C+csin⁡B=4asin⁡Bsin⁡Cb\sin C+c\sin B=4a\sin B\sin C，b2+c2−a2=8b^2+c^2-a^2=8，则 △ABC\triangle ABC 的面积为______.

2018 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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14函数与初等函数★★★☆☆
若函数
f(x)={−x+6,x⩽2,3+log⁡ax,x>2,f(x) = \begin{cases} -x + 6, & x \leqslant 2,\\ 3 + \log_a x, & x > 2, \end{cases}
（a>0a > 0，且 a≠1a \neq 1）的值域是 [4,+∞)[4, +\infty)，则实数 aa 的取值范围是______.

2015 · 福建 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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15计数原理与组合数学★★★☆☆
一个二元码是由 00 和 11 组成的数字串 x1x2⋯xnx_{1}x_{2}\cdots x_{n}（n∈N∗n\in \mathbf{N}^{*}），其中 xkx_{k}（k=1k=1，22，…\dots，nn）称为第 kk 位码元. 二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误（即码元由 00 变为 11，或者由 11 变为 00）. 已知某种二元码 x1x2⋯x7x_{1}x_{2}\cdots x_{7} 的码元满足如下校验方程组：
{x4⊕x5⊕x6⊕x7=0,x2⊕x3⊕x6⊕x7=0,x1⊕x3⊕x5⊕x7=0,\begin{cases} x_{4}\oplus x_{5}\oplus x_{6}\oplus x_{7}=0,\\ x_{2}\oplus x_{3}\oplus x_{6}\oplus x_{7}=0,\\ x_{1}\oplus x_{3}\oplus x_{5}\oplus x_{7}=0, \end{cases}
，其中运算 ⊕\oplus 定义为：0⊕0=00\oplus 0=0，0⊕1=10\oplus 1=1，1⊕0=11\oplus 0=1，1⊕1=01\oplus 1=0. 现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第 kk 位发生码元错误后变成了 11011011101101，那么利用上述校验方程组可判定 kk 等于______.

2015 · 福建 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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15函数与初等函数★★★☆☆
若函数 f(x)=2∣x−a∣f(x) = 2^{|x-a|}（a∈Ra \in \mathbf{R}） 满足 f(1+x)=f(1−x)f(1 + x) = f(1 - x)，且 f(x)f(x) 在 [m,+∞)[m, +\infty) 上单调递增，则实数 mm 的最小值等于______.

2015 · 福建 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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14概率与统计★★★☆☆
如图，在边长为 e\mathrm{e}（e\mathrm{e} 为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为______.

2014 · 福建 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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15函数与初等函数★★★☆☆
函数
f(x)={x2−2,x⩽0,2x−6+ln⁡x,x>0,f(x) = \begin{cases} x^2 - 2, & x \leqslant 0,\\ 2x - 6 + \ln x, & x > 0, \end{cases}
的零点个数是______.
\begin{answer} 2 \end{answer}
\begin{solution} 当 x⩽0x\leqslant0 时，f(x)=x2−2f(x)=x^2-2，由 x2−2=0x^2-2=0 得 x=±2x=\pm\sqrt2，其中只有 x=−2x=-\sqrt2 满足定义域，所以这一段有 11 个零点.
当 x>0x>0 时，令 g(x)=2x−6+ln⁡xg(x)=2x-6+\ln x，则 g′(x)=2+1x>0g'(x)=2+\frac1x>0，所以 gg 在 (0,+∞)(0,+\infty) 上严格递增. 又 lim⁡x→0+g(x)=−∞\displaystyle\lim_{x\to0^+}g(x)=-\infty，且 g(3)=ln⁡3>0g(3)=\ln3>0，故由零点存在性定理，gg 在 (0,+∞)(0,+\infty) 上恰有一个零点. 因此 f(x)f(x) 共有 22 个零点. \end{solution}

2014 · 福建 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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16集合与逻辑基础★★★☆☆
已知集合 {a,b,c}={0,1,2}\{a, b, c\} = \{0, 1, 2\}，且下列三个关系：
① a≠2a \neq 2； ② b=2b = 2； ③ c≠0c \neq 0
有且只有一个正确，则 100a+10b+c=100a + 10b + c =______.
\begin{answer} 201 \end{answer}
\begin{solution} 因为 {a,b,c}={0,1,2}\{a,b,c\}=\{0,1,2\}，所以 aa，bb，cc 是 00，11，22 的一个排列. 若 b=2b=2，则 aa，cc 为 0,10,1，此时 a≠2a\neq2 与 b=2b=2 同时正确，不符合题意. 因此 b≠2b\neq2. 若再有 a≠2a\neq2，则 aa，bb 为 0,10,1，从而 c=2c=2，这时 a≠2a\neq2 与 c≠0c\neq0 同时正确，也不符合题意. 因此 a=2a=2. 于是 bb，cc 为 0,10,1，且 b=2b=2 与 a≠2a\neq2 均不正确；要恰有一个关系正确，必须 c≠0c\neq0，所以 c=1c=1、b=0b=0. 因此 100a+10b+c=100×2+10×0+1=201100a+10b+c=100\times2+10\times0+1=201. \end{solution}

2014 · 福建 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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12立体几何初步★★★☆☆
已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图，侧视图，俯视图均如图所示，且图中的四边形是边长为 22 的正方形，则该球的表面积是______.

2013 · 福建 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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13三角函数★★★☆☆
如图，在 △ABC\triangle ABC 中，已知点 DD 在 BCBC 边上，AD⊥ACAD \perp AC，sin⁡∠BAC=223\sin \angle BAC = \frac{2\sqrt{2}}{3}，AB=32AB = 3\sqrt{2}，AD=3AD = 3，则 BDBD 的长为______.

2013 · 福建 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14解析几何★★★☆☆
椭圆 Γ:x2a2+y2b2=1\Gamma : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1（a>b>0a > b > 0）的左右焦点分别为 F1F_1，F2F_2，焦距为 2c2c，若直线 y=3(x+c)y = \sqrt{3}(x + c) 与椭圆 Γ\Gamma 的一个交点 MM 满足 ∠MF1F2=2∠MF2F1\angle MF_1F_2 = 2 \angle MF_2F_1，则该椭圆的离心率等于______.

2013 · 福建 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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15解析几何★★★☆☆
椭圆 Γ:x2a2+y2b2=1\Gamma: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1（a>b>0a > b > 0）的左右焦点分别为 F1F_1，F2F_2，焦距为 2c2c. 若直线 y=3(x+c)y = \sqrt{3}(x + c) 与椭圆 Γ\Gamma 的一个交点 MM 满足 ∠MF1F2=2∠MF2F1\angle MF_1F_2 = 2\angle MF_2F_1，则该椭圆的离心率等于______.
\begin{answer} 3−1\sqrt{3}-1 \end{answer}
\begin{solution} 取左、右焦点分别为 F1=(−c,0)F_1=(-c,0)、F2=(c,0)F_2=(c,0). 直线 y=3(x+c)y=\sqrt3(x+c) 经过 F1F_1，其向右上方的射线与 xx 轴正方向的夹角为 60∘60^\circ. 若点 MM 在该直线的另一条射线上，则 ∠MF1F2=120∘\angle MF_1F_2=120^\circ，由题设得 ∠MF2F1=60∘\angle MF_2F_1=60^\circ，从而三角形在 MM 处的内角为 0∘0^\circ，与三角形非退化矛盾. 因此 MM 在向右上方的射线上，从而
∠MF1F2=60∘\angle MF_1F_2=60^\circ
由题设 ∠MF1F2=2∠MF2F1\angle MF_1F_2=2\angle MF_2F_1，得 ∠MF2F1=30∘\angle MF_2F_1=30^\circ，于是三角形 MF1F2MF_1F_2 在 MM 处为直角三角形. 因为 F1F2=2cF_1F_2=2c，所以由 30∘30^\circ-60∘60^\circ-90∘90^\circ 三角形的边长关系，MF1=cMF_1=c，MF2=3cMF_2=\sqrt3c.
点 MM 在椭圆上，故由椭圆定义
2a=MF1+MF2=(1+3)c2a=MF_1+MF_2=(1+\sqrt3)c
因此离心率
e=ca=21+3=3−1e=\frac ca=\frac{2}{1+\sqrt3}=\sqrt3-1
\end{solution}

2013 · 福建 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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16计数原理与组合数学★★★☆☆
某地区规划道路建设，考虑道路铺设方案；方案设计图中，点表示城市，两点之间连线表示两城市间可铺设道路，连线上数据表示两城市间铺设道路的费用；要求从任一城市都能到达其余各城市，并且铺设道路的总费用最小；例如：在三个城市道路设计中，若城市间可铺设道路的线路图如图 1，则最优设计方案如图 2；此时铺设道路的最小总费用为 10. 现给出该地区可铺设道路的线路图如图 3，则铺设道路的最小总费用为______.

2012 · 福建 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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15平面向量★★★☆☆
设 VV 是全体平面向量构成的集合. 若映射 f:V→Rf:V\to\mathbf{R} 满足：对任意向量 a=(x1,y1)∈Va=(x_1,y_1)\in V，b=(x2,y2)∈Vb=(x_2,y_2)\in V，以及任意 λ∈R\lambda\in\mathbf{R}，均有 f(λa+(1−λ)b)=λf(a)+(1−λ)f(b)f\left(\lambda a+(1-\lambda)b\right)=\lambda f(a)+(1-\lambda)f(b)，则称映射 ff 具有性质 PP. 现给出如下映射：
① f1:V→Rf_1:V\to\mathbf{R}，f1(m)=x−yf_1(m)=x-y，m=(x,y)∈Vm=(x,y)\in V； ② f2:V→Rf_2:V\to\mathbf{R}，f2(m)=x2+yf_2(m)=x^2+y，m=(x,y)∈Vm=(x,y)\in V； ③ f3:V→Rf_3:V\to\mathbf{R}，f3(m)=x+y+1f_3(m)=x+y+1，m=(x,y)∈Vm=(x,y)\in V.
其中，具有性质 PP 的映射的序号为______（写出所有具有性质 PP 的映射的序号）.

2011 · 福建 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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15立体几何初步★★★☆☆
如图，正方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中，AB=2AB = 2，点 EE 为 ADAD 的中点，点 FF 在 CDCD 上，
若 EF∥EF \parallel 平面 AB1CAB_{1}C，则线段 EFEF 的长度等于______.

2011 · 福建 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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