北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果. 在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为 $36000\text{ km}$（轨道高度是指卫星到地球表面的最短距离）. 把地球看成是一个球心为 $O$，半径 $r$ 为 $6400\text{ km}$ 的球，其上点 $A$ 的纬度是指 $OA$ 与赤道平面所成角的度数. 地球表面能直接观测到的一颗地球静止同步轨道卫星的点的纬度最大值记为 $\alpha$，该卫星信号覆盖地球表面的表面积为 $S=2\pi r^2\left( 1-\cos \alpha \right)$（单位：$\text{km}^2$），则 $S$ 占地球表面积的百分比约为（ ）

\begin{answer} C \end{answer}

若 $a=\log_5 2$，$b=\log_8 3$，$c=\frac12$，则下列判断正确的是（ ）

\begin{answer} C \end{answer}

如图，下列各正方体中，$O$ 为下底面的中心，$P$ 为所在棱的中点，$M$，$N$ 为正方体的顶点. 则满足 $MN\perp OP$ 的是（ ）

\begin{answer} BC \end{answer}

已知直线 $l:ax+by-r^2=0$ 与圆 $C:x^2+y^2=r^2$，点 $A\left( a,b \right)$，则下列说法正确的是（ ）

\begin{answer} ABD \end{answer}

写出一个函数 $f\left( x \right)=\underline{\hspace{2em}}$，使其同时具有下列性质：

① $f\left( x_1x_2 \right)=f\left( x_1 \right)f\left( x_2 \right)$； ② 当 $x\in \left( 0,+\infty \right)$ 时，$f'\left( x \right)>0$； ③ $f'\left( x \right)$ 是奇函数.

\begin{answer} $x^4$ \end{answer}

在 $\triangle ABC$ 中，角 $A$，$B$，$C$ 所对的边长分别为 $a$，$b$，$c$，$b=a+1$，$c=a+2$.

(1) 若 $2\sin C=3\sin A$，求 $\triangle ABC$ 的面积； (2) 是否存在正整数 $a$，使得 $\triangle ABC$ 为钝角三角形？若存在，求出 $a$ 的值；若不存在，说明理由.