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04函数与初等函数★★★☆☆
古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 5−12≈0.618\dfrac{\sqrt5-1}{2}\approx0.618（称为黄金分割比例）. 著名的“断臂维纳斯”便是如此. 此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 5−12\dfrac{\sqrt5-1}{2}. 若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为 105 cm105\text{ cm}，头顶至脖子下端的长度为 26 cm26\text{ cm}，则其身高可能是（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
A.
165 cm165\text{ cm}
B.
175 cm175\text{ cm}
C.
185 cm185\text{ cm}
D.
190 cm190\text{ cm}

2019 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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05函数与初等函数★★★☆☆
函数 f(x)=sin⁡x+xcos⁡x+x2f(x)=\dfrac{\sin x+x}{\cos x+x^2} 在 [−π,π][-\pi,\pi] 的图象大致为（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
A.
\choicebitmap[width=0.15\paperwidth]{img/2019/national_paper_1_science/q5_choice_a.png}
B.
\choicebitmap[width=0.15\paperwidth]{img/2019/national_paper_1_science/q5_choice_b.png}
C.
\choicebitmap[width=0.15\paperwidth]{img/2019/national_paper_1_science/q5_choice_c.png}
D.
\choicebitmap[width=0.15\paperwidth]{img/2019/national_paper_1_science/q5_choice_d.png}

2019 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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10解析几何★★★☆☆
已知椭圆 CC 的焦点为 F1(−1,0)F_1(-1,0)，F2(1,0)F_2(1,0)，过 F2F_2 的直线与 CC 交于 AA，BB 两点. 若 ∣AF2∣=2∣F2B∣|AF_2|=2|F_2B|，∣AB∣=∣BF1∣|AB|=|BF_1|，则 CC 的方程为（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
A.
x22+y2=1\dfrac{x^2}{2}+y^2=1
B.
x23+y22=1\dfrac{x^2}{3}+\dfrac{y^2}{2}=1
C.
x24+y23=1\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{3}=1
D.
x25+y24=1\dfrac{x^2}{5}+\dfrac{y^2}{4}=1

2019 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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11三角函数★★★☆☆
关于函数 f(x)=sin⁡∣x∣+∣sin⁡x∣f(x)=\sin|x|+|\sin x| 有下述四个结论：
① f(x)f(x) 是偶函数； ② f(x)f(x) 在区间 (π2,π)\left(\dfrac{\pi}{2},\pi\right) 单调递增； ③ f(x)f(x) 在 [−π,π][-\pi,\pi] 有 44 个零点； ④ f(x)f(x) 的最大值为 22.
其中所有正确结论的编号是（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
A.
\circled1\circled2\circled4\circled{1}\circled{2}\circled{4}
B.
\circled2\circled4\circled{2}\circled{4}
C.
\circled1\circled4\circled{1}\circled{4}
D.
\circled1\circled3\circled{1}\circled{3}

2019 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 11 题 · 选择题

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04函数与初等函数★★★☆☆
古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 5−12\dfrac{\sqrt5-1}{2}（5−12≈0.618\dfrac{\sqrt5-1}{2}\approx 0.618，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此. 此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 5−12\dfrac{\sqrt5-1}{2}. 若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为 105 cm105\text{ cm}，头顶至脖子下端的长度为 26 cm26\text{ cm}，则其身高可能是（ ）
A.
165 cm165\text{ cm}
B.
175 cm175\text{ cm}
C.
185 cm185\text{ cm}
D.
190 cm190\text{ cm}

2019 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 4 题 · 选择题

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05函数与初等函数★★★☆☆
函数 f(x)=sin⁡x+xcos⁡x+x2f(x)=\dfrac{\sin x+x}{\cos x+x^2} 在 [−π,π][-\pi,\pi] 的图象大致为（ ）
A.
\choicebitmap[width=0.15\paperwidth]{img/2019/national_paper_1_liberal/q5_choice_a.png}
B.
\choicebitmap[width=0.15\paperwidth]{img/2019/national_paper_1_liberal/q5_choice_b.png}
C.
\choicebitmap[width=0.15\paperwidth]{img/2019/national_paper_1_liberal/q5_choice_c.png}
D.
\choicebitmap[width=0.15\paperwidth]{img/2019/national_paper_1_liberal/q5_choice_d.png}

2019 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 5 题 · 选择题

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10解析几何★★★☆☆
双曲线 C:x2a2−y2b2=1C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>0a>0，b>0b>0）的一条渐近线的倾斜角为 130∘130^\circ，则 CC 的离心率为（ ）
A.
2sin⁡40∘2\sin 40^\circ
B.
2cos⁡40∘2\cos 40^\circ
C.
1sin⁡50∘\dfrac{1}{\sin 50^\circ}
D.
1cos⁡50∘\dfrac{1}{\cos 50^\circ}

2019 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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11三角函数★★★☆☆
△ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc. 已知 asin⁡A−bsin⁡B=4csin⁡Ca\sin A-b\sin B=4c\sin C，cos⁡A=−14\cos A=-\dfrac{1}{4}，则 bc=\dfrac{b}{c}=（ ）
A.
66
B.
55
C.
44
D.
33

2019 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 11 题 · 选择题

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09三角函数★★★☆☆
下列函数中，以 π2\dfrac{\pi}{2} 为周期且在区间 (π4,π2)\left(\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{2}\right) 单调递增的是（ ）
A.
f(x)=∣cos⁡2x∣f(x)=|\cos 2x|
B.
f(x)=∣sin⁡2x∣f(x)=|\sin 2x|
C.
f(x)=cos⁡∣x∣f(x)=\cos|x|
D.
f(x)=sin⁡∣x∣f(x)=\sin|x|

2019 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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10三角函数★★★☆☆
已知 α∈(0,π2)\alpha\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)，2sin⁡2α=cos⁡2α+12\sin2\alpha=\cos2\alpha+1，则 sin⁡α=\sin\alpha=（ ）
A.
15\dfrac15
B.
55\dfrac{\sqrt5}{5}
C.
33\dfrac{\sqrt3}{3}
D.
255\dfrac{2\sqrt5}{5}

2019 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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11解析几何★★★☆☆
设 FF 为双曲线 C:x2a2−y2b2=1C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>0a>0，b>0b>0）的右焦点，OO 为坐标原点，以 OFOF 为直径的圆与圆 x2+y2=a2x^2+y^2=a^2 交于 PP，QQ 两点. 若 ∣PQ∣=∣OF∣|PQ|=|OF|，则 CC 的离心率为（ ）
A.
2\sqrt2
B.
3\sqrt3
C.
22
D.
5\sqrt5

2019 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 11 题 · 选择题

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07函数与初等函数★★★☆☆
函数 y=2x32x+2−xy=\dfrac{2x^3}{2^x+2^{-x}} 在 [−6,6][-6,6] 的图象大致为（ ）
A.
B.
C.
D.

2019 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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08立体几何初步★★★☆☆
如图，点 NN 为正方形 ABCDABCD 的中心，△ECD\triangle ECD 为正三角形，平面 ECD⊥ECD\perp 平面 ABCDABCD，MM 是线段 EDED 的中点，则（ ）
A.
BM=ENBM=EN，且直线 BMBM，ENEN 是相交直线
B.
BM≠ENBM\ne EN，且直线 BMBM，ENEN 是相交直线
C.
BM=ENBM=EN，且直线 BMBM，ENEN 是异面直线
D.
BM≠ENBM\ne EN，且直线 BMBM，ENEN 是异面直线

2019 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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10解析几何★★★☆☆
双曲线 C:x24−y22=1C:\dfrac{x^2}{4}-\dfrac{y^2}{2}=1 的右焦点为 FF，点 PP 在 CC 的一条渐近线上，OO 为坐标原点. 若 ∣PO∣=∣PF∣|PO|=|PF|，则 △PFO\triangle PFO 的面积为（ ）
A.
324\dfrac{3\sqrt2}{4}
B.
322\dfrac{3\sqrt2}{2}
C.
222\sqrt2
D.
323\sqrt2

2019 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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11函数与初等函数★★★☆☆
设 f(x)f(x) 是定义域为 R\mathbf{R} 的偶函数，且在 (0,+∞)(0,+\infty) 单调递减，则（ ）
A.
f ⁣(log⁡314)>f ⁣(2−32)>f ⁣(2−23)f\!\left(\log_3\frac14\right)>f\!\left(2^{-\frac{3}{2}}\right)>f\!\left(2^{-\frac{2}{3}}\right)
B.
f ⁣(log⁡314)>f ⁣(2−23)>f ⁣(2−32)f\!\left(\log_3\frac14\right)>f\!\left(2^{-\frac{2}{3}}\right)>f\!\left(2^{-\frac{3}{2}}\right)
C.
f ⁣(2−32)>f ⁣(2−23)>f ⁣(log⁡314)f\!\left(2^{-\frac{3}{2}}\right)>f\!\left(2^{-\frac{2}{3}}\right)>f\!\left(\log_3\frac14\right)
D.
f ⁣(2−23)>f ⁣(2−32)>f ⁣(log⁡314)f\!\left(2^{-\frac{2}{3}}\right)>f\!\left(2^{-\frac{3}{2}}\right)>f\!\left(\log_3\frac14\right)

2019 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 11 题 · 选择题

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08立体几何初步★★★☆☆
如图，点 NN 为正方形 ABCDABCD 的中心，△ECD\triangle ECD 为正三角形，平面 ECD⊥ECD\perp 平面 ABCDABCD，MM 是线段 EDED 的中点，则（ ）
A.
BM=ENBM=EN，且直线 BM,ENBM,EN 是相交直线
B.
BM≠ENBM\ne EN，且直线 BMBM，ENEN 是相交直线
C.
BM=ENBM=EN，且直线 BMBM，ENEN 是异面直线
D.
BM≠ENBM\ne EN，且直线 BMBM，ENEN 是异面直线

2019 · 全国 · 三卷 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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10解析几何★★★☆☆
已知 FF 是双曲线 C:x24−y25=1C:\dfrac{x^2}{4}-\dfrac{y^2}{5}=1 的一个焦点，点 PP 在 CC 上，OO 为坐标原点. 若 ∣OP∣=∣OF∣|OP|=|OF|，则 △OPF\triangle OPF 的面积为（ ）
A.
32\dfrac32
B.
52\dfrac52
C.
72\dfrac72
D.
92\dfrac92

2019 · 全国 · 三卷 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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11集合与逻辑基础★★★☆☆
记不等式组 x+y≥6x+y\ge6，2x−y>02x-y>0 表示的平面区域为 DD. 命题 pp：∃(x,y)∈D\exists (x,y)\in D，2x+y≥92x+y\ge9；命题 qq：∀(x,y)∈D\forall (x,y)\in D，2x+y≤122x+y\le12. 下面给出了四个命题：
① p∨qp\vee q； ② ¬p∨q\neg p\vee q； ③ p∧¬qp\wedge\neg q； ④ ¬p∧¬q\neg p\wedge\neg q.
这四个命题中，所有真命题的编号是（ ）
A.
\circled1\circled3\circled{1}\circled{3}
B.
\circled1\circled2\circled{1}\circled{2}
C.
\circled2\circled3\circled{2}\circled{3}
D.
\circled3\circled4\circled{3}\circled{4}

2019 · 全国 · 三卷 · 文 · 第 11 题 · 选择题

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05不等式★★★☆☆
若 xx，yy 满足 ∣x∣≤1−y\left|x\right|\le1-y，且 y≥−1y\ge-1，则 3x+y3x+y 的最大值为（ ）.
A.
−7-7
B.
11
C.
55
D.
77

2019 · 北京 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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05解析几何★★★☆☆
已知抛物线 y2=4xy^2=4x 的焦点为 FF，准线为 ll，若 ll 与双曲线 x2a2−y2b2=1\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>0a>0，b>0b>0）的两条渐近线分别交于点 AA 和点 BB，且 ∣AB∣=4∣OF∣|AB|=4|OF|（OO 为原点），则双曲线的离心率为（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
A.
2\sqrt2
B.
3\sqrt3
C.
22
D.
5\sqrt5

2019 · 天津 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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07三角函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=Asin⁡(ωx+φ)f(x)=A\sin(\omega x+\varphi)（A>0A>0，ω>0\omega>0，∣φ∣<π|\varphi|<\pi）是奇函数，将 y=f(x)y=f(x) 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 22 倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为 g(x)g(x). 若 g(x)g(x) 的最小正周期为 2π2\pi，且 g ⁣(π4)=2g\!\left( \dfrac{\pi}{4} \right)=\sqrt2，则 f ⁣(3π8)=f\!\left( \dfrac{3\pi}{8} \right)=（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
A.
−2-2
B.
−2-\sqrt2
C.
2\sqrt2
D.
22

2019 · 天津 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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06解析几何★★★☆☆
已知抛物线 y2=4xy^2=4x 的焦点为 FF，准线为 ll. 若与双曲线 x2a2−y2b2=1\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>0a>0，b>0b>0） 的两条渐近线分别交于点 AA 和点 BB，且 ∣AB∣=4∣OF∣|AB|=4|OF|（OO 为原点），则双曲线的离心率为（ ）
A.
2\sqrt2
B.
3\sqrt3
C.
22
D.
5\sqrt5

2019 · 天津 · 文 · 第 6 题 · 选择题

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07三角函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=Asin⁡(ωx+φ)f(x)=A\sin(\omega x+\varphi)（A>0A>0，ω>0\omega>0，∣φ∣<π|\varphi|<\pi） 是奇函数，且 f(x)f(x) 的最小正周期为 π\pi，将 y=f(x)y=f(x) 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为 g(x)g(x). 若 g ⁣(π4)=2g\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\sqrt2，则 f ⁣(3π8)=f\!\left(\dfrac{3\pi}{8}\right)=（ ）
A.
−2-2
B.
−2-\sqrt2
C.
2\sqrt2
D.
22

2019 · 天津 · 文 · 第 7 题 · 选择题

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15立体几何初步★★★☆☆
已知平面 α\alpha，β\beta，γ\gamma 两两垂直，直线 aa，bb，cc 满足 a⊂αa\subset\alpha，b⊂βb\subset\beta，c⊂γc\subset\gamma，则直线 aa，bb，cc 不可能满足以下哪种关系（ ）
A.
两两垂直
B.
两两异面
C.
两两相交
D.
两两平行

2019 · 上海 · 春季 · 第 15 题 · 选择题

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16解析几何★★★☆☆
以 (a1,0)(a_1,0)，(a2,0)(a_2,0) 为圆心的两圆均过 (1,0)(1,0)，与 yy 轴正半轴分别交于 (0,y1)(0,y_1)，(0,y2)(0,y_2)，且满足 ln⁡y1+ln⁡y2=0\ln y_1+\ln y_2=0，则点 (1a1,1a2)\left(\dfrac1{a_1},\dfrac1{a_2}\right) 的轨迹是
A.
直线
B.
圆
C.
椭圆
D.
双曲线

2019 · 上海 · 春季 · 第 16 题 · 选择题

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