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1817分数列★★★☆☆
已知公比大于 1 的等比数列 {an}\{a_n\} 满足 a2+a4=20a_2+a_4=20，a3=8a_3=8.
(1) 求 {an}\{a_n\} 的通项公式； (2) 记 bmb_m 为 {an}\{a_n\} 在区间 (0,m](0,m]（m∈N∗m\in\mathbf{N}^*）中的项的个数，求数列 {bm}\{b_m\} 的前 100 项和 S100S_{100}.

2020 · 全国 · 新高考一卷 · 第 18 题 · 解答题

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1917分概率与统计★★★☆☆
为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了 100100 天空气中的 PM2.5\mathrm{PM}_{2.5} 和 SO2\mathrm{SO}_2 浓度（单位：μg/m3\mu\mathrm{g}/\mathrm{m}^3），得下表：
PM2.5\SO2\mathrm{PM}_{2.5}\backslash\mathrm{SO}_2[0,50][0,50](50,150](50,150](150,475](150,475]
(35,75](35,75]6812
(75,115](75,115]3710
(1) 估计事件“该市一天空气中 PM2.5\mathrm{PM}_{2.5} 浓度不超过 75，且 SO2\mathrm{SO}_2 浓度不超过 150”的概率； (2) 根据所给数据，完成下面的 2×22\times 2 列联表：
PM2.5\SO2\mathrm{PM}_{2.5}\backslash\mathrm{SO}_2[0,150][0,150](150,475](150,475]
(75,115](75,115]
(3) 根据（2）中的列联表，判断是否有 99% 的把握认为该市一天空气中 PM2.5\mathrm{PM}_{2.5} 浓度与 SO2\mathrm{SO}_2 浓度有关？
附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)K^2=\dfrac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}.
P(K2≥k)P(K^2\ge k)0.0500.0100.001

2020 · 全国 · 新高考一卷 · 第 19 题 · 解答题

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1817分数列★★★☆☆
已知公比大于 11 的等比数列 {an}\{a_n\} 满足 a2+a4=20a_2+a_4=20，a3=8a_3=8.
(1) 求 {an}\{a_n\} 的通项公式； (2) 求 a1a2−a2a3+⋯+(−1)n−1anan+1a_1a_2-a_2a_3+\cdots+(-1)^{n-1}a_na_{n+1}.

2020 · 全国 · 新高考二卷 · 第 18 题 · 解答题

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1917分概率与统计★★★☆☆
为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了 100100 天空气中的 PM2.5\mathrm{PM}_{2.5} 和 SO2\mathrm{SO}_2 浓度（单位：μg/m3\mu\mathrm{g}/\mathrm{m}^3），得下表：
PM2.5\SO2\mathrm{PM}_{2.5}\backslash\mathrm{SO}_2[0,50][0,50](50,150](50,150](150,475](150,475]
(35,75](35,75]6812
(75,115](75,115]3710
(1) 估计事件“该市一天空气中 PM2.5\mathrm{PM}_{2.5} 浓度不超过 7575，且 SO2\mathrm{SO}_2 浓度不超过 150150”的概率； (2) 根据所给数据，完成下面的 2×22\times2 列联表：
PM2.5\SO2\mathrm{PM}_{2.5}\backslash\mathrm{SO}_2[0,150][0,150](150,475](150,475]
(75,115](75,115]
(3) 根据（2）中的列联表，判断是否有 99%99\% 的把握认为该市一天空气中 PM2.5\mathrm{PM}_{2.5} 浓度与 SO2\mathrm{SO}_2 浓度有关？
附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)K^2=\dfrac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}.
P(K2⩾k)P(K^2\geqslant k)0.0500.0500.0100.0100.0010.001

2020 · 全国 · 新高考二卷 · 第 19 题 · 解答题

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17数列★★★☆☆
设 {an}\{a_n\} 是公比不为 11 的等比数列，a1a_1 为 a2a_2，a3a_3 的等差中项.
(1) 求 {an}\{a_n\} 的公比； (2) 若 a1=1a_1=1，求数列 {nan}\{na_n\} 的前 nn 项和.

2020 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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22解析几何★★★☆☆
在直角坐标系 xOyxOy 中，曲线 C1C_1 的参数方程为 x=cos⁡ktx=\cos^k t，y=sin⁡kty=\sin^k t（tt 为参数）. 以坐标原点为极点，xx 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2C_2 的极坐标方程为 4ρcos⁡θ−16ρsin⁡θ+3=04\rho\cos\theta-16\rho\sin\theta+3=0.
(1) 当 k=1k=1 时，C1C_1 是什么曲线？ (2) 当 k=4k=4 时，求 C1C_1 与 C2C_2 的公共点的直角坐标.

2020 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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23不等式★★★☆☆
已知函数 f(x)=∣3x+1∣−2∣x−1∣f(x)=\left\lvert 3x+1 \right\rvert-2\left\lvert x-1 \right\rvert.
(1) 画出 y=f(x)y=f(x) 的图象； (2) 求不等式 f(x)>f(x+1)f(x)>f(x+1) 的解集.

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18三角函数★★★☆☆
△ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc. 已知 B=150∘B=150^{\circ}.
(1) 若 a=3ca=\sqrt{3}c，b=27b=2\sqrt{7}，求 △ABC\triangle ABC 的面积； (2) 若 sin⁡A+3sin⁡C=22\sin A+\sqrt{3}\sin C=\dfrac{\sqrt{2}}{2}，求 CC.

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19立体几何初步★★★☆☆
如图，DD 为圆锥的顶点，OO 是圆锥底面的圆心，△ABC\triangle ABC 是底面的内接正三角形，PP 为 DODO 上一点，∠APC=90∘\angle APC=90^{\circ}.
(1) 证明：平面 PAB⊥PAB\perp 平面 PACPAC； (2) 设 DO=2DO=\sqrt{2}，圆锥的侧面积为 3π\sqrt{3}\pi，求三棱锥 P−ABCP-ABC 的体积.

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22解析几何★★★☆☆
在直角坐标系 xOyxOy 中，曲线 C1C_1 的参数方程为
{x=cos⁡kt,y=sin⁡kt\begin{cases} x=\cos^k t,\\ y=\sin^k t \end{cases}
（tt 为参数）. 以坐标原点为极点，xx 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2C_2 的极坐标方程为 4ρcos⁡θ−16ρsin⁡θ+3=04\rho\cos\theta-16\rho\sin\theta+3=0.
(1) 当 k=1k=1 时，C1C_1 是什么曲线？ (2) 当 k=4k=4 时，求 C1C_1 与 C2C_2 的公共点的直角坐标.

2020 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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23不等式★★★☆☆
已知函数 f(x)=∣3x+1∣−2∣x−1∣f(x)=\lvert 3x+1\rvert-2\lvert x-1\rvert.
(1) 画出 y=f(x)y=f(x) 的图象； (2) 求不等式 f(x)>f(x+1)f(x)>f(x+1) 的解集.

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17三角函数★★★☆☆
△ABC\triangle ABC 中，sin⁡2A−sin⁡2B−sin⁡2C=sin⁡Bsin⁡C\sin^2 A-\sin^2 B-\sin^2 C=\sin B\sin C.
(1) 求 AA； (2) 若 BC=3BC=3，求 △ABC\triangle ABC 周长的最大值.

2020 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18概率与统计★★★☆☆
某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加. 为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的 200200 个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取 2020 个作为样区，调查得到样本数据 (xi,yi)(x_i,y_i)（i=1i=1，22，⋯\cdots，2020），其中 xix_i 和 yiy_i 分别表示第 ii 个样区的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量，并计算得 ∑i=120xi=60\sum_{i=1}^{20}x_i=60，∑i=120yi=1200\sum_{i=1}^{20}y_i=1200，∑i=120(xi−xˉ)2=80\sum_{i=1}^{20}\left( x_i-\bar{x} \right)^2=80，∑i=120(yi−yˉ)2=9000\sum_{i=1}^{20}\left( y_i-\bar{y} \right)^2=9000，∑i=120(xi−xˉ)(yi−yˉ)=800\sum_{i=1}^{20}\left( x_i-\bar{x} \right)\left( y_i-\bar{y} \right)=800.
(1) 求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）； (2) 求样本 (xi,yi)(x_i,y_i)（i=1i=1，22，⋯\cdots，2020）的相关系数（精确到 0.010.01）； (3) 根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大. 为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由.
附：相关系数 r=∑i=1n(xi−xˉ)(yi−yˉ)∑i=1n(xi−xˉ)2∑i=1n(yi−yˉ)2r=\dfrac{\sum_{i=1}^{n}\left( x_i-\bar{x} \right)\left( y_i-\bar{y} \right)}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left( x_i-\bar{x} \right)^2\sum_{i=1}^{n}\left( y_i-\bar{y} \right)^2}}，2≈1.414\sqrt2\approx 1.414.

2020 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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22解析几何★★★☆☆
已知曲线 C1C_1，C2C_2 的参数方程分别为
C1:{x=4cos⁡2θ,y=4sin⁡2θC_1:\begin{cases} x=4\cos^2\theta,\\ y=4\sin^2\theta \end{cases}
，
C2:{x=t+1t,y=t−1tC_2:\begin{cases} x=t+\dfrac{1}{t},\\ y=t-\dfrac{1}{t} \end{cases}
（θ\theta 为参数，tt 为参数）.
(1) 将 C1C_1，C2C_2 的参数方程化为普通方程； (2) 以坐标原点为极点，xx 轴正半轴为极轴建立极坐标系. 设 C1C_1，C2C_2 的交点为 PP，求圆心在极轴上，且经过极点和 PP 的圆的极坐标方程.

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23不等式★★★☆☆
已知函数 f(x)=∣x−a2∣+∣x−2a+1∣f(x)=|x-a^2|+|x-2a+1|.
(1) 当 a=2a=2 时，求不等式 f(x)≥4f(x)\geq 4 的解集； (2) 若 f(x)≥4f(x)\geq 4，求 aa 的取值范围.

2020 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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17三角函数★★★☆☆
△ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc，已知 cos⁡2(π2+A)+cos⁡A=54\cos^2\left( \dfrac{\pi}{2}+A \right)+\cos A=\dfrac{5}{4}.
(1) 求 AA； (2) 若 b−c=33ab-c=\dfrac{\sqrt3}{3}a，证明：△ABC\triangle ABC 是直角三角形.

2020 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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18概率与统计★★★☆☆
某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加. 为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的 200200 个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取 2020 个作为样区，调查得到样本数据 (xi,yi)(x_i,y_i)（i=1i=1，22，⋯\cdots，2020），其中 xix_i 和 yiy_i 分别表示第 ii 个样区的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量，并计算得 ∑i=120xi=60\sum_{i=1}^{20}x_i=60，∑i=120yi=1200\sum_{i=1}^{20}y_i=1200，∑i=120(xi−xˉ)2=80\sum_{i=1}^{20}(x_i-\bar x)^2=80，∑i=120(yi−yˉ)2=9000\sum_{i=1}^{20}(y_i-\bar y)^2=9000，∑i=120(xi−xˉ)(yi−yˉ)=800\sum_{i=1}^{20}(x_i-\bar x)(y_i-\bar y)=800.
(1) 求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）； (2) 求样本 (xi,yi)(x_i,y_i)（i=1i=1，22，⋯\cdots，2020）的相关系数（精确到 0.010.01）； (3) 根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大. 为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由.
附：相关系数 r=∑i=1n(xi−xˉ)(yi−yˉ)∑i=1n(xi−xˉ)2∑i=1n(yi−yˉ)2r=\dfrac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar x)(y_i-\bar y)}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar x)^2\sum_{i=1}^{n}(y_i-\bar y)^2}}， 2≈1.414\sqrt2\approx 1.414.

2020 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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22解析几何★★★☆☆
已知曲线 C1C_1 的参数方程为
{x=4cos⁡2θ,y=4sin⁡2θ\begin{cases} x=4\cos^2\theta,\\ y=4\sin^2\theta \end{cases}
（θ\theta 为参数），C2C_2 的参数方程为
{x=t+1t,y=t−1t\begin{cases} x=t+\dfrac{1}{t},\\ y=t-\dfrac{1}{t} \end{cases}
（tt 为参数）.
(1) 将 C1C_1，C2C_2 的参数方程化为普通方程； (2) 以坐标原点为极点，xx 轴正半轴为极轴建立极坐标系. 设 C1C_1，C2C_2 的交点为 PP，求圆心在极轴上，且经过极点和 PP 的圆的极坐标方程.

2020 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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17数列★★★☆☆
设数列 {an}\{a_n\} 满足 a1=3a_1=3，an+1=3an−4na_{n+1}=3a_n-4n.
(1) 计算 a2a_2，a3a_3，猜想 {an}\{a_n\} 的通项公式并加以证明； (2) 求数列 {2nan}\{2^na_n\} 的前 nn 项和 SnS_n.

2020 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18概率与统计★★★☆☆
某学生兴趣小组随机调查了某市 100100 天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：
锻炼人次[0,200][0,200](200,400](200,400](400,600](400,600]
空气质量等级 22（良）51012
空气质量等级 33（轻度污染）678
空气质量等级 44（中度污染）720
(1) 分别估计该市一天的空气质量等级为 11，22，33，44 的概率； (2) 求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (3) 若某天的空气质量等级为 11 或 22，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为 33 或 44，则称这天“空气质量不好”. 根据所给数据，完成下面的 2×22\times2 列联表，并根据列联表，判断是否有 95%95\% 的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？
人次≤400\le400人次>400>400
空气质量不好
附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)K^2=\dfrac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}.
P(K2≥k)P(K^2\ge k)0.0500.0100.001

2020 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★☆☆
如图，在长方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 中，点 EE，FF 分别在棱 DD1DD_1，BB1BB_1 上，且 2DE=ED12DE=ED_1，BF=2FB1BF=2FB_1.
(1) 证明：点 C1C_1 在平面 AEFAEF 内； (2) 若 AB=2AB=2，AD=1AD=1，AA1=3AA_1=3，求二面角 A−EF−A1A-EF-A_1 的正弦值.

2020 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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17数列★★★☆☆
设等比数列 {an}\{a_n\} 满足 a1+a2=4a_1+a_2=4，a3−a1=8a_3-a_1=8.
(1) 求 {an}\{a_n\} 的通项公式； (2) 记 SnS_n 为数列 {log⁡3an}\{\log_3 a_n\} 的前 nn 项和. 若 Sm+Sm+1=Sm+3S_m+S_{m+1}=S_{m+3}，求 mm.

2020 · 全国 · 三卷 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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18概率与统计★★★☆☆
某学生兴趣小组随机调查了某市 100100 天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：
\airqualityheader[0,200][0,200](200,400](200,400](400,600](400,600]
22（良）5510101212
33（轻度污染）667788
44（中度污染）772200
(1) 分别估计该市一天的空气质量等级为 11，22，33，44 的概率； (2) 求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (3) 若某天的空气质量等级为 11 或 22，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为 33 或 44，则称这天“空气质量不好”. 根据所给数据，完成下面的 2×22\times 2 列联表，并根据列联表，判断是否有 95%95\% 的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？
人次≤400\le 400人次>400>400
空气质量不好
附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)K^2=\dfrac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}.
P(K2≥k)P(K^2\ge k)0.0500.0500.0100.0100.0010.001

2020 · 全国 · 三卷 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★☆☆
如图，在长方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 中，点 EE，FF 分别在棱 DD1DD_1，BB1BB_1 上，且 2DE=ED12DE=ED_1，BF=2FB1BF=2FB_1. 证明：
(1) 当 AB=BCAB=BC 时，EF⊥ACEF\perp AC； (2) 点 C1C_1 在平面 AEFAEF 内.

2020 · 全国 · 三卷 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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22解析几何★★★☆☆
在直角坐标系 xOyxOy 中，曲线 CC 的参数方程为
{x=2−t−t2,y=2−3t+t2\begin{cases} x=2-t-t^2,\\ y=2-3t+t^2 \end{cases}
（tt 为参数且 t≠1t\neq 1），CC 与坐标轴交于 AA，BB 两点.
(1) 求 ∣AB∣|AB|； (2) 以坐标原点为极点，xx 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线 ABAB 的极坐标方程.

2020 · 全国 · 三卷 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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