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1715分数列★★★☆☆
已知数列 {an}\{a_n\} 满足 a1=1a_1=1，且
an+1={an+1,n为奇数,an+2,n为偶数.a_{n+1}=\begin{cases} a_n+1, & n\text{为奇数},\\ a_n+2, & n\text{为偶数}. \end{cases}
(1) 记 bn=a2nb_n=a_{2n}，写出 b1b_1，b2b_2，并求数列 {bn}\{b_n\} 的通项公式； (2) 求 {an}\{a_n\} 的前 2020 项和.

2021 · 全国 · 新高考一卷 · 第 17 题 · 解答题

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1817分三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，角 AA，BB，CC 所对的边长分别为 aa，bb，cc，b=a+1b=a+1，c=a+2c=a+2.
(1) 若 2sin⁡C=3sin⁡A2\sin C=3\sin A，求 △ABC\triangle ABC 的面积； (2) 是否存在正整数 aa，使得 △ABC\triangle ABC 为钝角三角形？若存在，求出 aa 的值；若不存在，说明理由.

2021 · 全国 · 新高考二卷 · 第 18 题 · 解答题

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18数列★★★☆☆
已知数列 {an}\{a_n\} 的各项均为正数，记 SnS_n 为 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和，从下面三个条件中选取两个作为条件，证明另外一个成立.
① 数列 {an}\{a_n\} 是等差数列； ② 数列 {Sn}\left\{\sqrt{S_n}\right\} 是等差数列； ③ a2=3a1a_2=3a_1.

2021 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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22解析几何★★★☆☆
在直角坐标系 xOyxOy 中，以坐标原点为极点，xx 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 CC 的极坐标方程为 ρ=22cos⁡θ\rho=2\sqrt{2}\cos \theta.
(1) 将 CC 的极坐标方程化为直角坐标方程； (2) 设点 AA 的直角坐标为 (1,0)(1,0)，MM 为 CC 上的动点，点 PP 满足 AP→=2AM→\overrightarrow{AP}=\sqrt{2}\overrightarrow{AM}，写出 PP 的轨迹 C1C_1 的参数方程，并判断 CC 与 C1C_1 是否有公共点.

2021 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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23不等式★★★☆☆
已知函数 f(x)=∣x−2∣f(x)=|x-2|，g(x)=∣2x+3∣−∣2x−1∣g(x)=|2x+3|-|2x-1|.
(1) 画出 y=f(x)y=f(x) 和 y=g(x)y=g(x) 的图像； (2) 若 f(x+a)≥g(x)f(x+a)\ge g(x)，求 aa 的取值范围.

2021 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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17概率与统计★★★☆☆
甲，乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品. 为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了 200200 件产品，产品的质量情况统计如下表：
(1) 甲机床，乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？ (2) 能否有 99%99\% 的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？
附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)K^2=\dfrac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}

2021 · 全国 · 甲卷 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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18数列★★★☆☆
记 SnS_n 为数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和，已知 an>0a_n>0，a2=3a1a_2=3a_1，且数列 {Sn}\{\sqrt{S_n}\} 是等差数列，证明：{an}\{a_n\} 是等差数列.

2021 · 全国 · 甲卷 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★☆☆
已知直三棱柱 ABC−A1B1C1ABC-A_1B_1C_1 中，侧面 AA1B1BAA_1B_1B 为正方形，AB=BC=2AB=BC=2，EE，FF 分别为 ACAC 和 CC1CC_1 的中点，BF⊥A1B1BF\perp A_1B_1.
(1) 求三棱锥 F−EBCF-EBC 的体积； (2) 已知 DD 为棱 A1B1A_1B_1 上的点，证明：BF⊥DEBF\perp DE.

2021 · 全国 · 甲卷 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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22解析几何★★★☆☆
在直角坐标系 xOyxOy 中，以坐标原点为极点，xx 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 CC 的极坐标方程为 ρ=22cos⁡θ\rho=2\sqrt{2}\cos\theta.
(1) 将 CC 的极坐标方程化为直角坐标方程； (2) 设点 AA 的直角坐标为 (1,0)(1,0)，MM 为 CC 上的动点，点 PP 满足 AP→=2AM→\overrightarrow{AP}=\sqrt{2}\overrightarrow{AM}，写出 PP 的轨迹 C1C_1 的参数方程，并判断 CC 与 C1C_1 是否有公共点.

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23不等式★★★☆☆
已知函数 f(x)=∣x−2∣f(x)=|x-2|，g(x)=∣2x+3∣−∣2x−1∣g(x)=|2x+3|-|2x-1|.
(1) 画出 y=f(x)y=f(x) 和 y=g(x)y=g(x) 的图像； (2) 若 f(x+a)≥g(x)f(x+a)\ge g(x)，求 aa 的取值范围.

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18立体几何初步★★★☆☆
如图，四棱锥 P−ABCDP-ABCD 的底面是矩形，PD⊥PD\perp 底面 ABCDABCD，PD=DC=1PD=DC=1，MM 为 BCBC 的中点，且 PB⊥AMPB\perp AM.
(1) 求 BCBC； (2) 求二面角 A−PM−BA-PM-B 的正弦值.

2021 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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22解析几何★★★☆☆
在直角坐标系 xOyxOy 中，圆 CC 的圆心为 C(2,1)C(2,1)，半径为 11.
(1) 写出圆 CC 的一个参数方程； (2) 过点 F(4,1)F(4,1) 作圆 CC 的两条切线. 以坐标原点为极点，xx 轴正半轴为极轴建立坐标系，求这两条切线的极坐标方程.

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23不等式★★★☆☆
已知函数 f(x)=∣x−a∣+∣x+3∣f(x)=|x-a|+|x+3|.
(1) 当 a=1a=1 时，求不等式 f(x)≥6f(x)\ge 6 的解集； (2) 若 f(x)>−af(x)>-a，求 aa 的取值范围.

2021 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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18立体几何初步★★★☆☆
如图，四棱锥 P−ABCDP-ABCD 的底面是矩形，PD⊥PD\perp 底面 ABCDABCD，MM 为 BCBC 的中点，且 PB⊥AMPB\perp AM.
(1) 证明：平面 PAM⊥PAM\perp 平面 PBDPBD； (2) 若 PD=DC=1PD=DC=1，求四棱锥 P−ABCDP-ABCD 的体积.

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22解析几何★★★☆☆
在直角坐标系 xOyxOy 中，⊙C\odot C 的圆心为 C(2,1)C(2,1)，半径为 11.
(1) 写出 ⊙C\odot C 的一个参数方程； (2) 过点 F(4,1)F(4,1) 作 ⊙C\odot C 的两条切线. 以坐标原点为极点，xx 轴正半轴为极轴建立坐标系，求这两条切线的极坐标方程.

2021 · 全国 · 乙卷 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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23不等式★★★☆☆
已知函数 f(x)=∣x−a∣+∣x+3∣f(x)=|x-a|+|x+3|.
(1) 当 a=1a=1 时，求不等式 f(x)≥6f(x)\ge6 的解集； (2) 若 f(x)>−af(x)>-a，求 aa 的取值范围.

2021 · 全国 · 乙卷 · 文 · 第 23 题 · 解答题

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16三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，c=2bcos⁡Bc=2b\cos B，C=2π3C=\dfrac{2\pi}{3}.
(1) 求 BB 的大小； (2) 再从下列三个条件中选择一个作为已知，使 △ABC\triangle ABC 存在且唯一确定，求 BCBC 边上中线的长.
① c=2bc=\sqrt2b； ② △ABC\triangle ABC 的周长为 4+234+2\sqrt3； ③ △ABC\triangle ABC 的面积为 334\dfrac{3\sqrt3}{4}.

2021 · 北京 · 第 16 题 · 解答题

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18概率与统计★★★☆☆
在核酸检测中，“kk 合 1”混采核酸检测是指：先将 kk 个人的样本混合在一起进行 1 次检测，如果这 kk 个人都没感染新冠病毒，则检测结果为阴性；如果这 kk 个人中有感染新冠病毒，则检测结果为阳性，此时需对每人再进行一次检测，得到每人的检测结果，检测结束. 现对 100100 人进行核酸检测，假设其中只有 22 人感染新冠病毒，并假设每次检测结果准确.
(1) 将这 100100 人随机分成 1010 组，每组 1010 人，且对每组都采用“10 合 1”混采核酸检测.
(i) 如果感染新冠病毒的 22 人在同一组，求检测的总次数； (ii) 已知感染新冠病毒的 22 人在同一组的概率为 111\dfrac{1}{11}，设 XX 是检测的总次数，求 XX 的分布列与数学期望 EXEX； (2) 将这 100100 人随机分成 2020 组，每组 55 人，且对每组都采用“5 合 1”混采核酸检测. 设 YY 是检测的总次数，试判断数学期望 EYEY 与（1）中的 EXEX 的大小.（结论不要求证明）

2021 · 北京 · 第 18 题 · 解答题

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19导数及其应用★★★☆☆
已知函数 f(x)=3−2xx2+af(x)=\dfrac{3-2x}{x^2+a}.
(1) 若 a=0a=0，求曲线 y=f(x)y=f(x) 在点 (1,f(1))(1,f(1)) 处的切线方程； (2) 若 f(x)f(x) 在 x=−1x=-1 处取得极值，求 f(x)f(x) 的单调区间，并求其最大值与最小值.

2021 · 北京 · 第 19 题 · 解答题

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16三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，角 AA，BB，CC 所对的边分别为 aa，bb，cc，已知 sin⁡A:sin⁡B:sin⁡C=2:1:2\sin A:\sin B:\sin C=2:1:\sqrt2，b=2b=\sqrt2.
(1) 求 aa 的值； (2) 求 cos⁡C\cos C 的值； (3) 求 sin⁡(2C−π6)\sin\left( 2C-\dfrac{\pi}{6} \right) 的值.

2021 · 天津 · 第 16 题 · 解答题

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17立体几何初步★★★☆☆
如图，在棱长为 22 的正方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 中，EE 为棱 BCBC 的中点，FF 为棱 CDCD 的中点.
(1) 求证：D1F∥D_1F\parallel 平面 A1EC1A_1EC_1； (2) 求直线 AC1AC_1 与平面 A1EC1A_1EC_1 所成角的正弦值； (3) 求二面角 A−A1C1−EA-A_1C_1-E 的正弦值.

2021 · 天津 · 第 17 题 · 解答题

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17立体几何初步★★★☆☆
如图，在长方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 中，已知 AB=BC=2AB=BC=2，AA1=3AA_1=3.
(1) 若 PP 是棱 A1D1A_1D_1 上的动点，求三棱锥 C−PADC-PAD 的体积； (2) 求直线 AB1AB_1 与平面 ACC1A1ACC_1A_1 的夹角大小.

2021 · 上海 · 第 17 题 · 解答题

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18三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，已知 a=3a=3，b=2cb=2c.
(1) 若 A=2π3A=\frac{2\pi}{3}，求 S△ABCS_{\triangle ABC}； (2) 若 2sin⁡B−sin⁡C=12\sin B-\sin C=1，求 C△ABCC_{\triangle ABC}.

2021 · 上海 · 第 18 题 · 解答题

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19数列★★★☆☆
已知一企业今年第一季度的营业额为 1.11.1 亿元，往后每个季度增加 0.050.05 亿元，第一季度的利润为 0.160.16 亿元，往后每一季度比前一季度增长 4%4\%.
(1) 求今年起的前 2020 个季度的总营业额； (2) 请问哪一季度的利润首次超过该季度营业额的 18%18\%？

2021 · 上海 · 第 19 题 · 解答题

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17立体几何初步★★★☆☆
四棱锥 P−ABCDP-ABCD，底面为正方形 ABCDABCD，边长为 44，EE 为 ABAB 中点，PE⊥PE\perp 平面 ABCDABCD.
(1) 若 △PAB\triangle PAB 为等边三角形，求四棱锥 P−ABCDP-ABCD 的体积； (2) 若 CDCD 的中点为 FF，PFPF 与平面 ABCDABCD 所成角为 45∘45^\circ，求 PDPD 与 ACAC 所成角的大小.

2021 · 上海 · 春季 · 第 17 题 · 解答题

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