定义域为 $\mathbf{R}$，且对任意实数 $x_{1}$，$x_{2}$ 都满足不等式 $f\left(\frac{x_{1} + x_{2}}{2}\right) \leqslant \frac{f(x_{1}) + f(x_{2})}{2}$ 的所有函数 $f(x)$ 组成的集合记为 $M$. 例如，函数 $f(x) = kx + b \in M$.

(1) 已知函数 证明：$f(x)\in M$； (2) 写出一个函数 $f(x)$，使得 $f(x)\notin M$，并说明理由； (3) 写出一个函数 $f(x)\in M$，使得数列极限 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{f(n)}{n^2}=1$，$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{f(-n)}{-n}=1$.