在平面直角坐标系 $xOy$ 中，已知圆心在第二象限，半径为 $2\sqrt{2}$ 的圆 $C$ 与直线 $y = x$ 相切于坐标原点 $O$. 椭圆 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{9} = 1$ 与圆 $C$ 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为 $10$.

(1) 求圆 $C$ 的方程； (2) 试探求 $C$ 上是否存在异于原点的点 $Q$，使 $Q$ 到椭圆右焦点 $F$ 的距离等于线段 $OF$ 的长. 若存在，请求出点 $Q$ 的坐标；若不存在，请说明理由.