设 $f(x) = \ln x$，$g(x) = f(x) + f'(x)$.

(1) 求 $g(x)$ 的单调区间和最小值； (2) 讨论 $g(x)$ 与 $g\left(\frac{1}{x}\right)$ 的大小关系； (3) 求 $a$ 的取值范围，使得 $g(a) - g(x) < \frac{1}{a}$ 对任意 $x > 0$ 成立.