已知椭圆 $C$ 的中心在坐标原点，焦点在 $x$ 轴上，椭圆 $C$ 上的点到焦点距离的最大值为 $3$，最小值为 $1$.

(1) 求椭圆 $C$ 的标准方程； (2) 若直线 $l: y = kx + m$ 与椭圆 $C$ 相交于 $A$，$B$ 两点（$A$，$B$ 不是左右顶点），且以 $AB$ 为直径的圆过椭圆 $C$ 的右顶点，求证：直线 $l$ 过定点，并求出该定点的坐标.