已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_1 = 0$，$a_2 = 2$，且对任意 $m$，$n \in \mathbf{N}^*$ 都有 $a_{2m-1} + a_{2n-1} = 2a_{m+n-1} + 2(m - n)^2$.

(1) 求 $a_{3}$，$a_{5}$； (2) 设 $b_{n} = a_{2n + 1} - a_{2n - 1}$（$n \in \mathbf{N}^{*}$），证明：数列 $\{b_{n}\}$ 是等差数列； (3) 设 $c_{n} = (a_{n + 1} - a_{n})q^{n - 1}$（$q\ne 0$，$\ n\in \mathbf{N}^{*}$），求数列 $\{c_n\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$.