半径为 $R$ 的球 $O$ 的直径 $AB$ 垂直于平面 $\alpha$，垂足为 $B$，$\triangle BCD$ 是平面 $\alpha$ 内边长为 $R$ 的正三角形，线段 $AC$，$AD$ 分别与球面交于点 $M$，$N$，那么 $M$，$N$ 两点间的球面距离是（ ）

已知正方体 $ABCD - A'B'C'D'$ 的棱长为 $1$，点 $M$ 是棱 $AA'$ 的中点，点 $O$ 是对角线 $BD'$ 的中点.

(1) 求证：OM 为异面直线 $AA'$ 和 $BD'$ 的公垂线； (2) 求二面角 $M - BC' - B'$ 的大小； (3) 求三棱锥 $M - OBC$ 的体积.