设 $p>0$ 是一常数，过点 $Q(2p,0)$ 的直线与抛物线 $y^2=2px$ 交于相异两点 $A$，$B$，以线段 $AB$ 为直径作圆 $H$（$H$ 为圆心）. 试证抛物线顶点在圆 $H$ 的圆周上；并求圆 $H$ 的面积最小时直线 $AB$ 的方程.