设椭圆 $E: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{1-a^2} = 1$ 的焦点在 $x$ 轴上.

(1) 若椭圆 $E$ 的焦距为 $1$，求椭圆 $E$ 的方程； (2) 设 $F_{1}$，$F_{2}$ 分别是椭圆 $E$ 的左，右焦点，$P$ 为椭圆 $E$ 上第一象限内的点. 直线 $F_{2}P$ 交 $y$ 轴于点 $Q$，并且 $F_{1}P \perp F_{1}Q$，证明：当 $a$ 变化时，点 $P$ 在某定直线上.