已知双曲线 $C$ 的实半轴长与虚半轴的乘积为 $\sqrt{3}$，$C$ 的两个焦点分别为 $F_1$，$F_2$，直线 $l$ 过 $F_2$ 且与直线 $F_1F_2$ 的夹角满足 $\tan \varphi=\frac{\sqrt{21}}{2}$，$l$ 与线段 $F_1F_2$ 的垂直平分线的交点是 $P$，线段 $PF_2$ 与双曲线 $C$ 的交点为 $Q$，且 $|PQ|:|QF_2|=2:1$. 求双曲线 $C$ 的方程.