设 $O$ 为坐标原点，动点 $M$ 在椭圆 $C:\dfrac{x^2}{2}+y^2=1$ 上，过 $M$ 作 $x$ 轴的垂线，垂足为 $N$，点 $P$ 满足 $\overrightarrow{NP}=\sqrt2\,\overrightarrow{NM}$.

(1) 求点 $P$ 的轨迹方程； (2) 设点 $Q$ 在直线 $x=-3$ 上，且 $\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{PQ}=1$. 证明：过点 $P$ 且垂直于 $OQ$ 的直线 $l$ 过 $C$ 的左焦点 $F$.

在直角坐标系 $xOy$ 中，以坐标原点为极点，$x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_1$ 的极坐标方程为 $\rho\cos\theta=4$.

(1) $M$ 为曲线 $C_1$ 上的动点，点 $P$ 在线段 $OM$ 上，且满足 $|OM|\cdot|OP|=16$，求点 $P$ 的轨迹 $C_2$ 的直角坐标方程； (2) 设点 $A$ 的极坐标为 $\left(2,\dfrac{\pi}{3}\right)$，点 $B$ 在曲线 $C_2$ 上，求 $\triangle OAB$ 面积的最大值.