如图，动点 $P$ 在正方体 $ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 的对角线 $BD_{1}$ 上. 过点 $P$ 作垂直于平面 $BB_{1}D_{1}D$ 的直线. 与正方体表面相交于 $MN$. 设 $BP = x$，$MN = y$，则函数 $y = f(x)$ 的图象大致是（ ）

\begin{answer} B \end{answer}

\begin{solution} 设正方体棱长为 $a$，令 $t=\dfrac{BP}{BD_1}$，则 $0\leqslant t\leqslant1$，且 $BP=a\sqrt3t$. 取坐标 $A=(0,0,0)$，$B=(a,0,0)$，$C=(a,a,0)$，$D=(0,a,0)$，$A_1=(0,0,a)$，$B_1=(a,0,a)$，$D_1=(0,a,a)$. 于是 $P=(a(1-t),at,at)$.

平面 $BB_1D_1D$ 的方程为 $x+y=a$，其法向量可取 $(1,1,0)$. 过 $P$ 的垂线保持 $z=at$，在正方形截面 $0\leqslant x$，$y\leqslant a$ 中沿方向 $(1,1)$ 通过 $P$. 当 $0\leqslant t\leqslant\frac12$ 时，直线段 $MN$ 的两个端点为 $(a(1-2t),0,at)$ 和 $(a,2at,at)$，故 $MN=2\sqrt2at$；当 $\frac12\leqslant t\leqslant1$ 时，两个端点为 $(0,a(2t-1),at)$ 和 $(a(2-2t),a,at)$，故 $MN=2\sqrt2a(1-t)$. 因而 $MN=2\sqrt2a\min\{t,1-t\}$.

代入 $t=\dfrac{x}{a\sqrt3}$，得到 $y=2\sqrt2a\min\left\{\dfrac{x}{a\sqrt3},1-\dfrac{x}{a\sqrt3}\right\}$. 因而 $y$ 从 $x=0$ 时的 $0$ 线性增加，在 $x=\frac{a\sqrt3}{2}$ 处达到最大值，再线性减小到 $x=a\sqrt3$ 时的 $0$. 图象是关于 $x=\frac{a\sqrt3}{2}$ 对称的折线三角形，故选 B. \end{solution}