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20
解析几何
★★★★☆
点
P
(
x
0
,
y
0
)
P(x_0, y_0)
P
(
x
0
,
y
0
)
在椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1
a
2
x
2
+
b
2
y
2
=
1
（
a
>
b
>
0
a > b > 0
a
>
b
>
0
）上，
x
0
=
a
cos
β
x_0 = a \cos \beta
x
0
=
a
cos
β
，
y
0
=
b
sin
β
y_0 = b \sin \beta
y
0
=
b
sin
β
，
0
<
β
<
π
2
0 < \beta < \frac{\pi}{2}
0
<
β
<
2
π
，直线
l
2
l_2
l
2
与直线
l
1
:
x
0
a
2
x
+
y
0
b
2
y
=
1
l_1:\ \frac{x_0}{a^2} x + \frac{y_0}{b^2} y = 1
l
1
:
a
2
x
0
x
+
b
2
y
0
y
=
1
垂直，
O
O
O
为坐标原点，直线
O
P
OP
O
P
的倾斜角为
α
\alpha
α
，直线
l
2
l_2
l
2
的倾斜角为
γ
\gamma
γ
.
(1) 证明：点
P
P
P
是椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1
a
2
x
2
+
b
2
y
2
=
1
与直线
l
1
l_1
l
1
的唯一交点； (2) 证明：
tan
α
\tan \alpha
tan
α
，
tan
β
\tan \beta
tan
β
，
tan
γ
\tan \gamma
tan
γ
构成等比数列.
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21
数列
★★★★☆
首项为正数的数列
{
a
n
}
\{a_n\}
{
a
n
}
满足
a
n
+
1
=
1
4
(
a
n
2
+
3
)
a_{n + 1} = \frac{1}{4} (a_n^2 + 3)
a
n
+
1
=
4
1
(
a
n
2
+
3
)
，
n
∈
N
+
n\in \mathbf{N}_+
n
∈
N
+
.
(1) 证明：若
a
1
a_1
a
1
为奇数，则对一切
n
⩾
2
n \geqslant 2
n
⩾
2
，
a
n
a_n
a
n
都是奇数； (2) 若对一切
n
∈
N
+
n \in \mathbf{N}_+
n
∈
N
+
都有
a
n
+
1
>
a
n
a_{n+1} > a_n
a
n
+
1
>
a
n
，求
a
1
a_1
a
1
的取值范围.
2009 · 安徽 · 理 · 第 21 题 · 解答题
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