已知双曲线 $S$ 的两条渐近线过坐标原点，且与以点 $A(\sqrt{2},0)$ 为圆心，$1$ 为半径的圆相切，双曲线 $S$ 的一个顶点 $A^\prime$ 与点 $A$ 关于直线 $y=x$ 对称.

(1) 求双曲线 $S$ 的方程； (2) 设直线 $l$ 过点 $A$，斜率为 $1$. 在双曲线 $S$ 的上支上求点 $B$，使其与直线 $l$ 的距离为 $\sqrt{2}$； (3) 求双曲线 $S$ 上到直线 $l:y=\frac{2\sqrt{5}}{5}\left(x-\sqrt{2}\right)$ 的距离为 $\sqrt{2}$ 的点的个数.