如图，点 $P$ 为斜三棱柱 $ABC-A_{1}B_{1}C_{1}$ 的侧棱 $BB_{1}$ 上一点，$PM \perp BB_{1}$ 交 $AA_{1}$ 于点 $M$，$PN \perp BB_{1}$ 交 $CC_{1}$ 于点 $N$.

(1) 求证： $CC_{1} \perp MN$； (2) 在任意 $\triangle DEF$ 中有余弦定理： $DE^2 = DF^2 + EF^2 - 2DF \cdot EF\cos \angle DFE$. 拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系，并予以证明.

已知函数 $f(x)=|x-a|$，$g(x)=x^2+2ax+1$（$a$ 为正常数），且函数 $f(x)$ 与 $g(x)$ 的图象在 $y$ 轴上的截距相等.

(1) 求 $a$ 的值； (2) 求函数 $f(x)+g(x)$ 的单调递增区间； (3) 若 $n$ 为正整数，证明： $10^{f(n)}\cdot\left(\frac45\right)^{g(n)}<4$.

已知倾斜角为 $45^{\circ}$ 的直线 $l$ 过点 $A(1,-2)$ 和点 $B$，$B$ 在第一象限，$|AB|=3\sqrt{2}$.

(1) 求点 $B$ 的坐标； (2) 若直线 $l$ 与双曲线 $C:\frac{x^2}{a^2}-y^2=1$（$a>0$）相交于 $E$，$F$ 两点，且线段 $EF$ 的中点坐标为 $(4,1)$，求 $a$ 的值； (3) 对于平面上任一点 $P$，当点 $Q$ 在线段 $AB$ 上运动时，称 $|PQ|$ 的最小值为 $P$ 与线段 $AB$ 的距离. 已知点 $P$ 在 $x$ 轴上运动，写出点 $P(t,0)$ 到线段 $AB$ 的距离 $h$ 关于 $t$ 的函数关系式.