已知倾斜角为 $45^{\circ}$ 的直线 $l$ 过点 $A(1,-2)$ 和点 $B$，$B$ 在第一象限，$|AB|=3\sqrt{2}$.

(1) 求点 $B$ 的坐标； (2) 若直线 $l$ 与双曲线 $C:\frac{x^2}{a^2}-y^2=1$（$a>0$）相交于 $E$，$F$ 两点，且线段 $EF$ 的中点坐标为 $(4,1)$，求 $a$ 的值； (3) 对于平面上任一点 $P$，当点 $Q$ 在线段 $AB$ 上运动时，称 $|PQ|$ 的最小值为 $P$ 与线段 $AB$ 的距离. 已知点 $P$ 在 $x$ 轴上运动，写出点 $P(t,0)$ 到线段 $AB$ 的距离 $h$ 关于 $t$ 的函数关系式.