已知函数 $f(x)=|x-a|$，$g(x)=x^2+2ax+1$（$a$ 为正常数），且函数 $f(x)$ 与 $g(x)$ 的图象在 $y$ 轴上的截距相等.

(1) 求 $a$ 的值； (2) 求函数 $f(x)+g(x)$ 的单调递增区间； (3) 若 $n$ 为正整数，证明： $10^{f(n)}\cdot\left(\frac45\right)^{g(n)}<4$.