已知双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2}-y^2=1$，其中 $a>0$，双曲线右支上有任意两点 $P_1(x_1,y_1)$，$P_2(x_2,y_2)$，满足 $x_1x_2-y_1y_2>0$ 恒成立，则 $a$ 的取值范围是______.

在椭圆 $\Gamma:\dfrac{x^2}{a^2}+y^2=1$ 中，直线 $l:x=a$ 上有两点 $C$，$D$（$C$ 点在第一象限），左顶点为 $A$，下顶点为 $B$，右焦点为 $F$.

(1) 若 $\angle AFB=\dfrac\pi6$，求椭圆 $\Gamma$ 的标准方程； (2) 若点 $C$ 的纵坐标为 $2$，点 $D$ 的纵坐标为 $1$，则 $BC$ 与 $AD$ 的交点是否在椭圆上？请说明理由； (3) 已知直线 $BC$ 与椭圆 $\Gamma$ 相交于点 $P$，直线 $AD$ 与椭圆 $\Gamma$ 相交于点 $Q$，若 $P$ 与 $Q$ 关于原点对称，求 $\lvert CD\rvert$ 的最小值.