如图，矩形 $ABCD$ 区域内，$D$ 处有一棵古树，为保护古树，以 $D$ 为圆心，$DA$ 为半径划定圆 $D$ 作为保护区域，已知 $AB=30\mathrm{~m}$，$AD=15\mathrm{~m}$，点 $E$ 为 $AB$ 上的动点，点 $F$ 为 $CD$ 上的动点，满足 $EF$ 与圆 $D$ 相切.

(1) 若 $\angle ADE=20^\circ$，求 $EF$ 的长； (2) 当点 $E$ 在 $AB$ 的什么位置时，梯形 $FEBC$ 的面积有最大值，最大面积为多少？

（长度精确到 $0.1\mathrm{~m}$，面积精确到 $0.01\mathrm{~m}^2$）

在椭圆 $\Gamma:\dfrac{x^2}{a^2}+y^2=1$ 中，直线 $l:x=a$ 上有两点 $C$，$D$（$C$ 点在第一象限），左顶点为 $A$，下顶点为 $B$，右焦点为 $F$.

(1) 若 $\angle AFB=\dfrac\pi6$，求椭圆 $\Gamma$ 的标准方程； (2) 若点 $C$ 的纵坐标为 $2$，点 $D$ 的纵坐标为 $1$，则 $BC$ 与 $AD$ 的交点是否在椭圆上？请说明理由； (3) 已知直线 $BC$ 与椭圆 $\Gamma$ 相交于点 $P$，直线 $AD$ 与椭圆 $\Gamma$ 相交于点 $Q$，若 $P$ 与 $Q$ 关于原点对称，求 $\lvert CD\rvert$ 的最小值.