如图，在三棱锥 $P - ABC$ 中，$AB = AC$，$D$ 为 $BC$ 的中点，$PO \perp$ 平面 $ABC$，垂足 $O$ 落在线段 $AD$ 上，已知 $BC = 8$，$PO = 4$，$AO = 3$，$OD = 2$.

(1) 证明： $AP \perp BC$； (2) 在线段 $AP$ 上是否存在点 $M$，使得二面角 $A - MC - B$ 为直二面角. 若存在，求出 $AM$ 的长；若不存在，请说明理由.