如图，$A_1$，$A_2$ 为椭圆的两个顶点，$F_1$，$F_2$ 为椭圆的两个焦点.

(1) 写出椭圆的方程及准线方程； (2) 过线段 $OA$ 上异于 $O$，$A$ 的任一点 $K$ 作 $OA$ 的垂线，交椭圆于 $P$，$P_1$ 两点，直线 $A_1P$ 与 $AP_1$ 交于点 $M$. 求证：点 $M$ 在双曲线 $\frac{x^{2}}{25} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ 上.