有三个新兴城镇，分别位于 $A$，$B$，$C$ 三点处，且 $AB = AC = 13 \mathrm{~km}$，$BC = 10 \mathrm{~km}$. 今计划合建一个中心医院，为同时方便三镇，准备建在 $BC$ 的垂直平分线上的 $P$ 点处.（建立坐标系如图）

(1) 若希望点 $P$ 到三镇距离的平方和为最小，点 $P$ 应位于何处？ (2) 若希望点 $P$ 到三镇的最远距离为最小，点 $P$ 应位于何处？

设 $y = f(x)$ 是定义在区间 $[-1,1]$ 上的函数，且满足条件：

① $f(-1) = f(1) = 0$； ② 对任意的 $u$，$v \in [-1,1]$，都有 $\left|f(u) - f(v)\right| \leqslant |u - v|$.

(1) 证明：对任意的 $x \in [-1,1]$，$x - 1 \leqslant f(x) \leqslant 1 - x$； (2) 判断函数 是否满足题设条件； (3) 在区间 $[-1,1]$ 上是否存在满足题设条件的函数 $y = f(x)$，且使得对任意的 $u$，$v \in [-1,1]$，都有 $\left|f(u) - f(v)\right| = u - v$，若存在，请举一例；若不存在，请说明理由.