已知椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ （$a > b > 0$）的焦距为 $4$，且过点 $P(\sqrt{2}, \sqrt{3})$.

(1) 求椭圆 $C$ 的方程. (2) 设 $Q(x_0, y_0)$ （$x_0 y_0 \neq 0$）为椭圆 $C$ 上一点，过点 $Q$ 作 $x$ 轴的垂线，垂足为 $E$. 取点 $A(0, 2\sqrt{2})$，连接 $AE$. 过点 $A$ 作 $AE$ 的垂线交 $x$ 轴于点 $D$. 点 $G$ 是点 $D$ 关于 $y$ 轴的对称点，作直线 $QG$. 问这样作出的直线 $QG$ 是否与椭圆 $C$ 一定有唯一的公共点？ 并说明理由.