已知在平面直角坐标系 $xOy$ 中的一个椭圆. 它的中心在原点，左焦点为 $F(-\sqrt{3}, 0)$，且右顶点为 $D(2, 0)$. 设点 $A$ 的坐标是 $\left(1, \frac{1}{2}\right)$.

(1) 求该椭圆的标准方程； (2) 若 $P$ 是椭圆上的动点，求线段 $PA$ 中点 $M$ 的轨迹方程； (3) 过原点 $O$ 的直线交椭圆于点 $B$，$C$，求 $\triangle ABC$ 面积的最大值.