设函数 $f(x)=\frac{x^2+(3a+1)x+c}{x+a}$，$a$，$c\in\mathbf{R}$

(1) 当 $a=0$ 时，是否存在实数 $c$，使得 $y=f(x)$ 为奇函数，请说明理由； (2) 若函数 $y=f(x)$ 的图像过点 $(1,3)$，且其与 $x$ 轴的负半轴有两个不同的交点，求 $c$ 的值及 $a$ 的取值范围.