在平面直角坐标系 $xOy$ 中，已知点 $A\left(0, -1\right)$，$B$ 点在直线 $y = -3$ 上，$M$ 点满足 $\overrightarrow{MB} \parallel \overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{MB} \cdot \overrightarrow{BA}$，$M$ 点的轨迹为曲线 $C$.

(1) 求 $C$ 的方程； (2) $P$ 为 $C$ 上的动点，$l$ 为 $C$ 在 $P$ 点处的切线，求 $O$ 点到 $l$ 距离的最小值.